906 ONORATO NICCOLETTI 



processo descritto al n° 4 al gruppo che contiene le derivate 

 della z fino all'ordine in -\- n : un ragionamento identico nel 

 fondo, ma più complicato nella forma vale in qualunque altro 

 caso. Conservando tutte le notazioni del n° 4, è facile vedere 

 che dalle derivate della lu dell'ordine n, da quelle della A {z) = 

 dell'ordine m possono dedursi h -\- \ relazioni (non piìi h, poiché 

 non sappiamo ora se uj soddisfa ad un'equazione di ordine n), 

 che non contengono le derivate della z dell'ordine m -\- n. Ne 

 segue che le tt,,. della equazione (7), per le quali la somma degli 

 indici è uguale ad m + M, sono legate da ìi relazioni lineari 

 omogenee indipendenti. D'altronde in questo caso le (8) sono 

 in numero di m n -{- p — h: colle precedenti abbiamo dunque di 

 nuovo n in -{- p relazioni nelle tt,ì., p,. Ripetendo allora il ragiona- 

 mento superiore, ne deduciamo che u) soddisfa anche in questo 

 caso ad un'equazione dell'ordine n. 



Si ottengono di qui come casi particolari tutte le trasfor- 

 mazioni, finora note, di equazioni lineari di ordine superiore. 



Si sa, ad esempio, che, data un'equazione lineare omogenea 



7! 



a coefficienti costanti Ta^i- z,,, = , una combinazione lineare 







qualunque, pure a coefficienti costanti, dell'integrale z e delle 

 sue derivate lu = Ilaa-0,;; soddisfa ancora all' equazione stessa e 







dà quindi una particolare trasformazione della equazione (in sé 

 stessa): ora è chiaro immediatamente che la ou si annulla per 

 le mn soluzioni particolari dell'equazione in z, date dalla for- 

 mula z' = e^f'^+'ì''', {i= 1, 2 . . . m n), dove (5^, rit) sono le coor- 

 dinate di uno qualunque degli m n punti comuni alle due curve 



n m 



degli ordini m ed n: Za^ftEV = , ^a,,,rri^= , supposti per 



o 



semplicità questi ni n punti tutti distinti (e la trasformazione 

 sarà allora generale; sarà invece singolare, quando alcuni di 

 questi punti vengano a coincidere). 



Così anche, generalizzando un esempio del Goursat (^), si 

 osservi che un'equazione lineare della forma: 



" ^ ()''Z "~' 



O-V 



(') Cf. Goursat, L(juations du second ordir. Voi. 2", pag. 244 nota. 



