SULLA TEORIA DELLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, ECC. 967 



(dove le X sono funzioni della sola x), ammette le trasforma- 

 ■^^ u, = -^^ (r = 1, 2 ... 0: ed una qualunque di esse, ad 



es • la iu. = f^ si annulla per le nr soluzioni particolari del- 

 l'equazione superiore che si ottengono moltiplicando per 1, 

 y,... i/~^ gli n integrali dell'equazione dififerenziale ordinaria 

 lineare omogenea: ÌX,*^ = 0; così anche infme, per citare 

 un esempio di una trasformazione singolare, si osservi che una 

 equazione del 3<^ ordine della forma : 



+ ^^f.+^^^ + '^ = ' 



la quale abbia due soluzioni particolari z^ e z^, il cui rapporto 

 sia una funzione della sola x, ammette la trasformazione 

 uj--=ct^+p^, il cui secondo membro si annulla identicamente 

 per le due soluzioni precedenti z^ e Z2 ecc. 



Queste considerazioni suggeriscono anzi il problema mte- 

 ressante, ma forse non molto facile, della determinazione, per 

 ogni singolo valore di n, di quelle classi di equazioni che am- 

 mettono delle trasformazioni integro-differenziali, delle condi- 

 zioni (invariantive) che caratterizzano queste classi, dello studio 

 infine delle trasformazioni relative. 



Si osservi anche il teorema, più generale di quello di Goursat: 



" Un equazione dell'ordine n in k variabili indipendenti x^ ...xk, della 

 " forma : 



A'(^) + uj(iA) = 0, P'i-J^^ 



" dove A' è un'espressione lineare omogenea di ordine n nelle variabili 

 " Xi...xic con coefficienti funzioni di queste sole variabili, w un'operazione 

 " qualunque di ordine n - r nella derivata i/„ ammette le r trasformazioni 



" u).=^ (i = l,2...r)„. 



Questo teorema ci dà un esempio notevole di trasformazioni di equa- 

 zioni con più di due variabili indipendenti. 



