968 ONORATO NICCOLETTI — SULLA TEORIA, ECC. 



7. Il teorema del n° 4 e le considerazioni del n° precedente 

 dimostrano come le equazioni lineari omogenee del primo ordine 

 in due variabili indipendenti: 



(9) ap + hq'^cz = 



ammettano delle trasformazioni [in, p], ciascuna delle quali è 

 determinata dall'annullarsi identicamente per m -\- p soluzioni 

 particolari, linearmente indipendenti, della equazione stessa : non 

 esistono infatti per le equazioni del 1" ordine (cfr. n° 4) delle 

 trasformazioni singolari; e ad esse trasformazioni si estendono 

 immediatamente i concetti ed i teoremi relativi alle trasforma- 

 zioni delle equazioni del secondo ordine. 



Queste trasformazioni sono però di gran lunga meno inte- 

 ressanti di quello che a prima vista possa sembrare: una qua- 

 lunque di queste trasformazioni conserva infatti le linee carat- 

 teristiche della equazione (9) (o meglio, le loro proiezioni sul 

 piano X y) ; cioè l'equazione trasformata ha la forma : 



a-s \-o -^ — hcuj=:0, 



ed è quindi riducibile alla (9) con un cambiamento proporzionale 

 di funzione incognita. Una trasformazione [in, _p] di un'equazione 

 del l** ordine riporta dunque in fondo sempre alla equazione di 

 partenza, e può sempre pensarsi ottenuta dalla composizione 

 (nel senso della teoria delle operazioni) di una trasformazione 

 infinitesima dell'equazione stessa coU'inversa di una tale trasfor- 

 mazione (^). 



(') Cf. Na, pag. 3-6. 



