SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 985 



Un importante caso particolare, di cui avremo bisogno, è 

 quello in cui le G^ (a?) sono polinomi, e le H,(a;) — ^,{so) sono 

 funzioni olomorfe qualunque, che non possono ridursi a semplici 

 costanti. 



2. — Seguo il teorema del Picard generalizzato. M. Borei 

 lo enuncia sotto la forma: Sia (}{x) una funzione intera e si con- 

 sideri le equazioni del tipo: 



(2) (p{x)G{x) = y\){x), 



dove il logaritmo dei piti grandi valori del modulo di (p{x), e 

 Hf{x], cresce meno rapido di una potenza (1 — a)™^ del log. dei 

 più grandi valori che assume il modulo di G{x), per lo stesso 

 I a? I ^ r. 



Ciò posto si può dimostrare che tutte queste equazioni, una 

 al più esclusa, hanno tante radici per quante ne comporta il 

 teorema del Hadamard (^). 



Od anche, ponendo: 



(3) 9 [x] G (a;) — ip {x) = e^Cx) n [x], 



dove T]{x) è un prodotto canonico di fattori primari, la (3) non 

 può sussistere in due modi diversi, per modo che i logaritmi dei 

 moduli massimi delle due corrispondenti funzioni T\{x), crescano 

 meno rapidi che tma potenza (1 — a)™^ del logaritmo del massimo 

 modulo di (ji{x). 



' Di qui per (p(,r) — 1, ij;(.r) = n e specializzando il risultato, 

 si ottiene: 



Se f{x) è una funzione trascendente intera, esiste al più un 

 valore del parametro u, tale che l'equazione: 



f[x) = u 



abbia un numero finito di zeri. Se ne esistono due o piti, la f{x) 

 si riduce ad un polinomio finito o ad una costante. {1° teor. del 

 Picard). 



(*) Vedi cit. memoria di Borei. 



Atti della R. Accademia — Voi. XXXIII. 67 



