986 TITO CAZZAXIGA 



L'ultimo teorema ammette una generalizzazione, per altro 

 verso, da quella data da M. Borei; di essa ora ci occuperemo. 



3. — Indichiamo con qpi (x), (pi{x) . . . , q)„ {x}, un numero 

 Unito di funzioni intere, scelte cosi che la qp,. (x) abbia ordine ap- 

 imrente di grandezza p (r) superiore a tutte le altre che la prece- 

 dono, qp,._i {pr_2 . . . qpi (^). Sia ancora: 



un sistema ài n -{- 1 parametri arbitrari, e si costruisca con 

 essi la funzione:- 



f{x) = Xo9n(a;) + XlCPn-l (^) + . . . + X„-lCPl(-») + K 



Possiamo allora dimostrare che: al massimo esistono n sistemi 

 di valori X, linearmente indipendenti, tali che le corrispondenti fun- 

 zioni f{x) ammettano solo un numero finito di zeri. 



Infatti se: 



X,o- \\, ^».. (i = 0, l,...n) 



sono w + 1 sistemi linearmente indipendenti, che godono delle 

 accennate proprietà, si hanno le n -|- 1 relazioni: 



(4) X,oCp„ + XaCp„_: +...+ X„,_iqpi + (X,„ — /•,;) = (i = 0, l,...w) 



dove: 



/:(^) = .(7.(a;)e"'(-) (ì = 0,1,...m) 



essendo g^x) un polinomio od una costante. Eliminando allora 

 tra le (4) le funzioni cp^ [x) si ha: 



Xjo \\ X„,_i A„„ — /o 



Xin Xu \n-\ \n /l 



= 



Xnl X„„_i A„„ ^„ 



(') In sostanza questa condizione serve solo ad eliminare il caso che tra 

 le qf> possa sussistere una relazione lineare a coeff. costanti od a coeflf. poli- 

 nomi. Il teorema dovrebbe essere enunciato come il caso particolare del N. 4. 



