SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 987 



od anche: 



(5) Do,,(/og"o + D,„(/ie'" + ... + Dnngne"" - D = 



in cui D è il det. delle \„, e D„ è il complemento algebrico 

 di Ks in D. Notiamo allora: 



a) Nessun polinomio (/, (x) può ridursi a zero, e nessuna 

 funzione hi{x) (^) ad una costante, poiché in ambo i casi una 

 certa qp,. potrebbe essere espressa in modo intero e lineare per 

 altre funzioni di ordine inferiore, ed in numero finito. 



ò) Il det. D è sempre diverso da zero e quindi i comple- 

 mentari Drs degli elementi dell'ultima colonna non possono tutti 

 annullarsi. 



Allora per l'accennato caso particolare del teorema del 

 Borei, la (5), e con essa l'ipotesi, sono assurde. 



Per Xy = u.^ si ha un caso particolarmente interessante; si 

 ottiene cioè: Se u è un pciìximetro arbitrario, e si costruisce la 

 funzione : 



(4') fix i u) -: cp„ + ucp„_, + ... + u"-' qpi + u", 



esistono al massimo n valori distinti del j^ctrametro u, tali che la 

 f{x I w) corrispondente, abbia un numero finito di zeri. 



Ponendo w = 1 si ritorna al teorema del Picard. Posto in- 

 vece M = 2 si ha un teorema che giova notare, per la sua ap- 

 plicazione alle funzioni dopp. periodiche. 



4. — Per questo caso [n = 2) è utile integrare la ricerca, 

 non facendo alcuna supposizione iìwW'ordine delle funzioni cp. Sia 

 u un parametro arbitrario, e formiamo la funzione: 



(4") cp,(..0 + «cp^ (.r) + u' = cj (.r) «"(-). 



Dimostriamo ora anzitutto : 



a) Se qPi(a?); e qpg(a;) non sono legati da una relazione li- 

 neare a coefficienti costanti, si possono trovare al massimo 2 va- 

 lori di ic, tali che g{x] sia un polinomio finito. Infatti supponiamo 



(') Così pure le differenze hi'x) — hjix). 



