SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 989 



b) Se cpi e cpo sono legati da una relazione lineare, allora 

 esistono al massimo 3 valori di n. tali che la g{x), nella (4") si 

 riduca ad un polinomio finito. 

 Sia infatti: 



e sostituendo nella (4') si ottiene ancora: 



(1 -|- ììiu)q>i{x) -\- {n -\- u)u = f/{x)e''''^\ 



Quindi indicando con A, se esiste, l'unico valore di ecce- 

 zione della cpzix), la totalità dei valori di u che rendono g{x) 

 un polinomio è data dalle soluzioni delle equazioni: 



i 1 + ìnu = 



( (1 -|- mu) A = nu -{- u^. 



E facile vedere che se tale proprietà appartiene a un certo 

 numero U questo deve coincidere con uno dei tre valori otte- 

 nuti. Concludendo: 



Al massimo esistono 3 valori di u, per cui la g{x) in (4') si 

 riduce ad un jjolinomio finito. 



Questi risultati ammettono generalizzazioni in vari sensi; 

 poiché tuttavia per noi, esse non hanno grande importanza, ci 

 limitiamo a dare un esempio che già accenna ad una fra quelle. 



Si ponga: 



qp„ (,r) ■= g [x] <?^(^^ 



dove g{x) è un polinomio; ossia si ammetta che (p„(.r) abbia 

 nell'origine il suo valore di eccezione; sia inoltre: 



cp„_.. = 6„_,cp„ + A.„_i 



