SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORPE, ECC. 991 



h) La funzione vy [x) è della forma ^^ [x] = g{x) e^^^^ dove 

 gix) è un polinomio. 



Si ammetta allora che esistano 3 sistemi distinti di poli- 

 nomi M(x), N(a;) soddisfacenti le accennate condizioni: in cor- 

 rispondenza avremo le tre equazioni: 



(8) ^r{x)t\x) + N,Cr)cp(^) - 5r,(^)eMx) = (r = l,2,3) 

 Eliminando tra queste la f{x) e la cp (^) si ottiene: 



Mi Ni </, ef"^ 



(9) M2 N2 gte^' = 0. 

 1 M3 N3 g,e^- 



D'altra parte le h,{x) — hi{x) non possono ridursi a zero 

 (0 a costanti) perchè in tal caso risulterebbe: 



f{x) _ _ Njgr» — NigTj 

 (p(a;) M/.^i — Mifi^i ' 



e la funzione olomorfa considerata si ridurrebbe ad una fun- 

 zione razionale contro l'ipotesi, dovendosi naturalmente esclu- 

 dere che il secondo membro della precedente relazione assuma 

 la forma —, poiché in tal caso le tre equazioni (8) rientrano 



fra loro. 



Allora per l'enunciato caso particolare del teorema del Borei 

 è necessario che i coefficienti delle e" nella (9) si annullino, ciò 

 che non è: quindi l'ipotesi è assurda. 



Per M (a;) = 1, N [x) = u si ha: 



Data la funzione meromorfa irriducibile ^^ esistono al mas- 

 simo dice valori di u tali che i)er essi l'equazione: 



f[x) 



- \-^ = u 

 <p(a;) 



abbia un numero finito di zeri. Se esistono tre di tali valori la 

 funzione meromorfa si riduce a razionale (2° teor. del Picard). 

 Generalizziamo quest'ultimo risultato. 



