SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 993 



Eliminando tra queste le F,.; e indicando con ( — 1)'"D,. il 

 det. che si deduce dalla matrice delle X sopprimendo la r'"* linea, 

 si ha la relazione: 



(12) D,ae"o + D,G,^«' + ... + D„+iG„+,e«n-i =: 0. 



Dimostriamo che la (12) è assurda. Infatti si noti che per 

 ipotesi le D, sono tutte diverse da zero, e dei polinomi Grix) 

 uno al massimo può annullarsi. Se due si annullassero, eliminando 

 tra le equazioni corrispondenti la F,,, si otterrebbe una certa F 

 espressa linearmente per funzioni di ordine inferiore, il che è 

 impossibile. Segue che le differenze Hj — Hj debbono in parte 

 annullarsi (o ridursi a costanti). D'altra parte più di 2 funzioni 

 Hr non possono coincidere con una medesima funzione H, perchè 

 eliminando fra tre delle corrisp. equazioni, la Fo e 1' esponen- 

 ziale comune e^ , si otterrebbe di nuovo una F^ espressa in modo 

 razionale per funzioni di ordine inferiore. 



Esaminiamo adunque l' ultimo caso in cui le H,. coinci- 

 dono parzialmente due a due. In tal caso, ammesso dapprima 

 w = 2v -|- 1 e quindi che la (12) abbia un numero dispari di 

 termini, e raccogliendo gli esponenziali comuni, si ottiene una 

 relazione del tipo: 



(12') ea,e"«. + ea,e»«. + ... + ea,g"«. = 0, 



dove almeno imo dei polinomi G coincide con uno dei coeff. D,. Gr,.. 

 Per il teorema del Borei risulta poi: 



(12") 9a,(.r) ^ ^aA^x) = . . . ea^^(.r) = 0, 



e quindi almeno un polinomio (},.(x) deve annullarsi. Ma ciò è 

 assurdo poiché scelte allora due equazioni (11) di identico espo- 

 nenziale H, ed eliminando tra esse e la equazione corrispon- 

 dente a Gr(^) =^ ^K tanto Fo che e^ , si ritorna al caso in cui 

 una F„ contro l'ipotesi, sarebbe esprimibile in modo razionale 

 por altre funzioni di ordine inferiore. 



D'altra parte se n fosse pari (> 4) si giuna:erebbe ugual- 



