SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 995 



Dimostriamo ora: 



f- f 



a) Se —, — non sono legati da una relazione lineare a 



/ CP2' qpi ^ 



coefficienti costanti, si possono trovare al massimo tre valori di u 

 tali che per essi la G({x) si riduca ad un 'polinomio. 



Ammettiamo che ne esistano 4 diversi: ii^, Uo, «3, Ui, e 

 scriviamo le quattro corrispondenti relazioni: 



(14) F,{x) + u,-F, + t4Fc = G,e^' (j = l, 2,3,4). 

 Eliminando tra questi le F,, Fj, Fn si ottiene la relazione: 



(15) D,Gi6"' + D.Goe^^ + DoGse^^ + B^^e^' = 0, 



in cui le D sono det. di Vandermonde, diversi da zerO; e nes- 

 suna delle Gri^) può annullarsi. 



Il teorema di M. Borei esclude allora che le H sieno tutte fra 

 loro distinte. D'altra parte, più di due non possono coincidere 

 fra loro, perchè se tre coincidessero, dalle corrispondenti equa- 

 zioni si dedurrebbero Fg, Fi, Fu sotto forma di polinomi. Sup- 

 poniamo allora che: 



Hi = Ho = H; 



in tal caso si ha pure: 



D,G, + D,a. = 0, 



quindi eliminando e" tra le due prime equazioni delle (14)^ si 

 arriva ad una relazione lineare fra Fo, Fi. Fo; e questo è contro 

 l'ipotesi. La proposizione è dunque in ogni caso stabilita. 



f. f 



b) Se —, —, sono legati da una relazione lineare, si danno 



al massimo 5 valori di u, tali che la corrispondente (j{x) sia un 

 polinomio. 



Sia infatti: 



e sostituiscasi in (13). Risulta: 



{m^u)^ + u{n-{-u) = ?{.r). 

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