998 TITO CAZZANIGA 



In particolare se il punto origine è semplicemente un polo, 

 otteniamo rispett. un polinomio od una funzione razionale in 

 p e p'. 



Operando poi la trasformazione: 



(«) X ■=^ p {u) . ■ . « = ' 



iAx^ — giX — g^ 



le /" e Qp diventano funzioni olomorfe nel piano delle x, e tra 

 questo piano e quello delle w, come è noto, resta fissata una 

 corrispondenza, per cui ad ogni valore x corrispondono due va- 

 lori di u uguali, contrari, compresi nel parali, dei periodi, e ad 

 ogni valore u interno a tale parali., corrisponde un unico e de- 

 terminato valore di x. 



3. — I precedenti risultati ci permettono in molti casi di 

 ricondurre un problema sulle funzioni dopp. periodiche, ad un 

 altro analogo, inerente le funzioni ordinarie. 



Si è già mostrato (^), per esempio, che per questo verso è 

 possibile, in casi determinati, ricondurre lo spezzamento delle 

 funzioni olomorfe nel campo ellittico, all'ordinario teorema di 

 Weierstrass. Cosi ora ci è facile, per es., dimostrare il teorema: 



Se lina funzione F(jt) dopp. periodica, pari o dispari, si con- 

 serva olomorfa in tutto il parali, fondamentale, e per u tendente 



a zero il rapporto , -„p ,, .-.^ , [per e uguale a o ad 1], si 



conserva finito, allora la F{u) si riduce ad un polinomio della 

 forma : 



Y{u) = \_pY\a, + aii) + «e/ + ... + ar^fl 



Supponiamo infatti sia pari la funzione considerata. Si avrà 

 F (w) = f{p). D'altra parte, posto e = 0, il rapporto —;- , per 



la trasformazione (a), si riduce all'altro -V", e questo è tale 



(') V. Notn ultima citata. 



