SULLE FUNZIONI OLOMORFE E MEROMORFE, ECC. 999 



che per x tendente all'infinito si conserva finito. Allora per un 

 teorema dovuto all'Hermite (^); 



e facendo la sostituzione inversa della [a] il teorema resta im- 

 mediatamente dimostrato. 



Se F(t<) è dispari, hasta porre e =: 1 e procedere come 

 dianzi. 



Se F(m) non è né pari né dispari, ma le sue parti principali 

 f[p), p'<^{p) (v. Form. 15) soddisfanno alle condizioni del prece- 

 dente teorema, allora la F (i<) è del tipo: 



Y{h) = («0 + (iiP + a.2P^' + • • • + «ni^" ) + 

 p'{h + hp + h,p^ + . . . + K-p""'). 



4. — Veniamo ai teoremi del Picard. 



a) Sia F(i^) una funzione pari di u. Allora si ha: 



Y{u)=f{p). 



Scriviamo quindi l'equazione: 



(17) -E{u) = v 



in cui V è un parametro arbitrario. Applicando alla u la trasfor- 

 mazione («) la (17) diventa: 



(17') f{x) = v 



ed f{x) è una funzione olomorfa di x. Per la corrispondenza 

 posta tra la x e la u risulta poi che la (17) e la (17'), per ogni 

 valore di v, hanno insieme finiti od infiniti zeri (*). Ma, per il 

 teorema del Picard, esiste al massimo un valore di u tale che 

 la (17') abbia un numero limitato di zeri in tutto il piano, 

 quindi altrettanto avviene per la F(w) nel 1° parallelogrammo. 



(*) " Journal de Math. „, serie III, voi. 1. 



('^) La (17) presenterebbe naturalmente tali zeri internamente al parali, 

 dei periodi. 



