1000 TITO CAZZANIGA 



b) Supponiamo dispari la nostra funzione per modo che : 

 Y{u)=p\{p). 

 Sia V un parametro arbitrario e si costruisca la funzione: 



(18) F(w) + ?; = R(m) 



in cui vogliamo determinare la v per modo che R(m) abbia un 

 numero finito di zeri nel l'' parali. 



Si scambi nella (18) -{- u in — u e si moltiplichi termine 

 a termine con quella, si ha: 



(19) M{p) + v' = ^{p) 

 posto : 



M(^) = - F'(u) = -/V(i?); ^{pi = R{u)U(-u). 



Le funzioni Mip), N(^) sono evidentemente olomorfe, e 

 dippiù la seconda possiede un numero finito di zeri nel parali, 

 fond. quando ciò avvenga per la corrispondente R{u). Con questo 

 siamo ricondotti al caso precedente, quindi possiamo concludere: 



Esistono al massimo due valori Vi = A, t'g = — A del pa- 

 rametro V per i quali la N(pì, e quindi anche la R(if), presenta 

 un numero finito di zeri nel parali, fond. 

 e) Nel caso generale è: 



Fiu)=:f(p)i-p'q>{p). 



Cerchiamo i valori di u per cui la funzione 



(19) F{u)-\-v = R{u] 



ha un numero finito di zeri. Scambiamo nella precedente — u 

 in -|- w e facciamo il prodotto. 



Posto : 



R(w)R(— «) = G(i?)e"'^^ f{p] —p'^q)^p) = ^){p) 

 risulta: 



(20) vy (^) + 2 vfip) -^v' = G (p) e^^P^ 



