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namente al parali, fond. ammettano 3 valori eccezionali, e ana- 

 logamente funzioni meromorfe che ivi ne ammettano 5. L'esi- 

 stenza di tali funzioni sembra improbabile, onde i due numeri 

 ottenuti sarebbero superiori al vero. Le mie attuali ricerche 

 non mi autorizzano finora ad affermarlo con pieno rigore. Penso 

 in breve tuttavia, di riprendere l'argomento per integrare i 

 risultati nel senso accennato. 

 Gottingen, 14 aprile 1898. 



Sulla rappresentazione analitica 

 delle funzioni reali discontinue di variabile reale; 



Nota del Dott. CARLO SEVERINI. 



Nelle memorie: Ueber die analytische Darstellbarkeit soge- 

 nannter wilkiirlichen Functionen einer reellen Veranderlichen (*), 

 Weierstrass dimostra che, data una funzione f{x) ad un va- 

 lore, reale, continua per ogni valore reale della variabile x, ed 

 avente un limite superiore finito per i suoi valori assoluti, è sempre 

 possibile, in infiniti modi, costruire un polinomio razionale intero, 

 che in un intervallo finito, prefissato a piacere, la rappresenta a 

 meno di una quantità positiva, piccola quanto si vuole; e da 

 questa proposizione, che può dirsi fondamentale, egli deduce 

 altre interessanti proprietà. 



Non tratta però affatto il caso che la funzione cessi di 

 essere continua; e sebbene dica in un punto di volersene occu- 

 pare in altra occasione, non è tuttavia noto che abbia poi pub- 

 blicato alcuna cosa intorno a ciò. 



Io ho preso a studiare tale questione; ed in questa nota 

 mi propongo ora di esporre i principali tra i risultati ai quali 

 sono potuto arrivare. 



1. — vSi abbia una funzione f{x) ad un valore, reale per 

 ogni valore reale della variabile x, che ammetta un limite su- 



(*) " Sitzungsbericlite der Koniglich preussischen Akademie der Wissen- 

 schaften zu Berlin „, 1885. 



