SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI, ECC. 1009 



Il procedimento seguito per arrivare a questo risultato è 

 evidentemente generale, ed applicato successivamente, conduce 

 alla formola : 



qualunque sia n. 



Per queste proprietà a cui soddisfa la ¥{x, k) e ad essa 

 applicabile la formola abbreviata dal Mac-Laurin, cioè per ogni 

 k fisso, maggiore di zero e per ogni valore finito di x: 



F{x,k)= 'F{x,k)rr^ + xFJix, k)rr. + 



dove w può essere qualunque. 



Se quindi la ^>{x) è anche scelta in modo che il resto: 



tenda a zero al crescere di n, ne viene che per ogni valore 

 fissato di k maggiore di zero è possibile lo sviluppo: 



F{x,k) = F{x, k)rT^ 4- x¥J{x,k)^.^ + 

 per tutti i punti di un intervallo finito qualsivoglia: 



3. — Un esempio di funzioni ^l{x), per le quali la F(x, k), 

 costruita come precedentemente, gode delle dette proprietà ci 

 viene dato dalla e~^\ 



Come è noto, e come d'altronde è facile verificare, essa 

 soddisfa intanto alle ipotesi poste per la ^}{x) nel principio del 

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