SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI, ECC. 1013 



Bimane dunque dimostrata l'esistenza d'infinite funzioni ijj(a;) 

 siffatte che le ¥{x, k) corrispondenti, costruite come sopra, per ogni 

 k fisso, non nullo, si possono rappresentare mediante serie di po- 

 tenze intere e positive di x, convergenti per ogni valore finito di 

 questo; in modo che servendoci di una denominazione usata nella 

 teoria delle funzioni potremo dirle funzioni trascendenti intere. 



4. — Riprendiamo ora lo studio della funzione: 



ed indichiamo con ò una quantità positiva piccola a piacere. 

 Potremo scrivere: 



^?(^.« = ^ f A«)^ (•■^) '?« + i [m * ("—) A' + 



J —00 J x-hò 



J x—ò J ce 



ed anche: 



/•oo /'oc 



^i^,k) = ^ '- Hiiuìdu + ' ^^' ^f{u)du + 



Jó Jó 



k k 



ò ò 



fk l'k 



. Q{x — b,x)\ , .j , eix,x-{-b)\ , ., 

 + 2u, '^{'^)àu + '^J ^ìf{u)du , 



J J 



da cui: 



F 



{x,k)— f{x) = -^ '—^ '-^ vp {u) du + 



k 



+ -^ j e(a; - Ò,.i0 + e{;r,a; + ò) - 2/'(.r) j , 



ove ri rappresenta una quantità positiva minore di 1. 



Sia ora un intervallo finito qualunque {x^ . . . x^) ; e, prefis- 



