1014 CARLO SE VERINI 



sati due numeri a e X piccoli a piacere, si escludano i punti di 



[xi . . . X2), ove la funzione oscilla per più di -j- , con un numero 



finito d'intorni, che sommati diano tutti insieme una quantità 



minore di -^. 



Detto (x,...x,+^) uno degli n tratti che ne risultano, nei 



punti dei quali l'oscillazione è minore od uguale a -r-, potremo 



determinare una quantità V» tale, che in una porzione di esso 

 minore od uguale a X'^ l'oscillazione della funzione sia minore 



di^. 



Ciò dipende dal seguente teorema, che è una generalizza- 

 zione di quello noto di Cantor sulla continuità: 



Se una funzione f{x) si mantiene sempre finita, e fa nei 'punti 



dì un tratto finito {a b) soltanto delle oscillazioni minori di 



un certo numero g, si può sempre determinare un numero positivo h 

 differente da zero, tale che quando h è in valore assoluto minore 

 di li, si abbia per tutti i punti x,x -\- h dell'intervallo {a . . . b): 



1 f{x + h) —f{x)\ <g + gi, 



gì essendo un numero positivo piccolo a piacere (*). 



(*) La dimostrazione di questo teorema non presenta alcuna difficoltà. 

 Cfr. DiNi, Fondamenti per la teorica di funzioni di variabili reali, §§ 41, 43 

 e 187. PiNCHERLE, Sopra alcuni svilupjìi in serie jìer funzioni analitiche, 

 " Memorie dell'Accademia delle Scienze di Bologna „, t. Ili, s. IV. Nondi- 

 meno ne darò qui una tenendo, sulla scorta di quello che fa il Luroth per 

 funzioni assolutamente continue di due variabili reali (" Mathematische 

 Annalen „, B. VI) un procedimento differente da quello che ordinariamente 

 si suole seguire in simili questioni. 



Come è noto per oscillazione in un punto x s'intende il limite (neces- 

 sariamente determinato) dell'oscillazione nell'intorno [x — h, a; -[~ ^). quando 

 h impiccolisce indefinitamente. Nelle ipotesi poste nel teorema si potrà 

 dunque, assegnato un punto qualsivoglia Xq di (a . . . 6), trovarne uno intorno 

 in cui la f{x) oscilla per meno di g; anzi di tali intorni ne esistono in- 

 finiti, e perchè sono tutti compresi nell'intervallo dato, essi devono am- 

 mettere un limite superiore finito [xq — €„ . . . a;o + e'o). 



In generale non sarà Eq = ^'oi 6 quando ciò non si verifica si consideri 

 il massimo intorno {xq — e . . . ìCq + e), che ha aro come punto medio, e nel 

 quale l'oscillazione della f{x) è minore od uguale a //. 



L'intorno così fatto possiamo riguardarlo come funzione dei punti di 



