SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI, ECC. 1015 



Prendendo la quantità ò, finora arbitraria^ minore o tutt'al 

 più uguale a X'^ si avrà: 



l\e{x- ò, x) + Q{x,x + b) - 2f{x)\< ^ , 



quando i punti x, x — ò, ,r -[~ ^ sono compresi tra Xi ed Xi^i. 



Se si ripete questo ragionamento per ognuno dei tratti 

 {x,... x^^i), e si sceglie come valore finale di ò un valore ò', 

 soggetto alla condizione: 



b'^\\, {i=l,2,...,n) 



risulta per ogni x, x — b',x -\- ò' appartenenti ad un medesimo 

 tratto {Xi . . . Xi^i) : 



e (rr — ò', x) — Q{x,x + b') — 2f{x) 



<l 



In particolare quando sia ò' < — la precedente disugua- 

 glianza vale per i punti d'un certo campo, che indicheremo con 



[^ij^a]) composto di n tratti, e che differisce da {xi x^) a 



meno di X. 



(rt . . . b), la quale si vede subito che è continua. Perciò dati due punti 

 qualunque a*i ed x^, di cui gl'intorni anzidetti siano (rcj — ej . . .a;, + e,); 

 (ar, — ■ e^ . . . X2 -\- ^a) basterà far vedere che se uno dei due punti ad es. x^ 

 s'accosta indefinitamente all'altro, l'intorno (ar, — €3 . . . ar. -j- e.i) tende a di- 

 ventare uguale ad {xi — e^ . . . xi -\- e,). Ciò risulta dalla limitazione : 



^1 — I a;i — ara I ^ €2 < e, + I «1 — ar2 I , 



alla quale si giunge immaginando di prendere Xi nell'intorno (x^ — e^ ...iCi+e,). 



L'intorno del punto x dell'intervallo (a ... 6) determinato come sopra 

 ammette dunque un minimo e, che sarà diverso da zero, giacche altrimenti 

 esisterebbe un punto a; di (a ... 6) in cui la funzione oscilla per più di g. 



Per avere la quantità h tale che quando \ h \ <ih si abbia per tutti 

 i punti x,x-\-h di [a . . .b): 



\f(x + h)-f{x)\ <fj+g,, 

 con g\ piccolo a piacere, basta evidentemente fare /; = e. 



