SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI, ECC. 1017 



Se dopo ciò mettiamo la F{x, k) sotto forma di una serie 

 di potenze, e con G (.r) indichiamo la somma dei primi m ter- 

 mini di questa serie, prendendo ni abbastanza grande, potremo 

 ottenere per ogni valore di x compreso tra x-i ed X2: 



I F{x, k) — (j{x) I < ai , 



ove (Ji è anch'esso piccolo quanto si vuole. 



Dal confronto di queste due disuguaglianze si ricava per 

 i punti di \xi , .^a J : 



I f[x) — (j{x) I < -|- CTl, 



che ci dà quest'altro teorema. 



B. Per una funzione f{x) soddisfacente alle condizioni dette 



di sopra, dato un intervallo finito qualunque {xi X2), si può 



costruire in infiniti modi un polinomio razionale intero G{x), il 

 quale rappresenti la funzione medesima a meno di una quantità 

 positiva g piccola a piacere per tutti i punti di un campo [xi , X2] 

 prefissato, nel modo detto dianzi, prossimo quanto si vuole ad 



[Xi . . . X2). 



6. — Per la dimostrazione di questo teorema, nel modo 

 come l'abbiamo ora data, è di essenziale importanza il fatto 

 che la: 



F(-'*^)=2lirK'"'*("-T^)*' 



quando si scelga opportunamente ^){x), risulta funzione trascen- 

 dente intera di x. 



Se però riandiamo il ragionamento fatto per arrivare a sta- 

 bilire questa proprietà (paragrafo 2), troviamo che i limiti su- 

 periori, ivi determinati, dei coefficienti della serie di potenze 

 che serve a rappresentare la F{x, k), tendono all'infinito al de- 

 crescere di k, e pili precisamente il limite superiore del coeffi- 

 ciente di x" è infinito come -7—. 



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