1018 CARLO SEVERINI 



Rimane quindi la possibilità che la cosa si verifichi per i 

 coefficienti stessi, ciò che bisognerebbe non accadesse perchè, 

 nel modo detto, si potesse ottenere sempre una rappresenta- 

 zione utile della f{x), per quanto grande sia l'approssimazione 

 voluta. 



In un'altra nota, che pubblicherò quanto prima, darò esem- 

 pio d'infinite funzioni per le quali questo fatto realmente ha 

 luogo, facendo però nel tempo stesso vedere come si possa, per 

 altra via, arrivare a stabilire il medesimo teorema B, senza che 

 per essa si presenti l'inconveniente ora detto. 



Fissato un intervallo {x^ . . . X2), per la dimostrazione di 

 questo teorema si potrebbe anche, analogamente a quanto fa 

 Weierstrass, considerare, invece di F{x,k), la: 



dove a e b sono due quantità reali soggette alla condizione: 



a < Xi < X2 < b 



giacche, in tutti i punti di (x^ . . . X2) , il valore assoluto della 

 differenza : 



F{x,k) — Fi{x, k) = ~\f{x — ku) vjj (u)du + 



J b-x 

 k' 



tende uniformemente allo zero al decrescere di k, e di piìi la 

 Fi(ic, k) risulta sempre funzione trascendente intera di x, quando 

 tale sia la ^{x). 



Ma anche qui s'incontrerebbe la medesima difficoltà di 



