SULLA RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DELLE FUNZIONI, ECC. 1021 



per ogni valore determinato di x ed appartenente ad \x^ , x^. 

 Dalle disuguaglianze: 



I /•(.,) _Gv(^)| <^ 



I Ì{X) — Ov+i(a;) I < (/y+i 



si ricava poi, quando v ^ 1 : 



I ^v(a?) \ <9i^ g^+i 

 donde: 



00 co 



v = l v=l 



co 



Segue da ciò che la serie 2_ Grv(«), e quindi anche l'altra 



v=l 



co 



2^ G (a?) , converge assolutamente ed in egual grado nel campo 

 [a^ijiTa]'. Abbiamo dunque il teorema 



C. Ogni funzione f{x) che soddisfa alle solite ipotesi, e tale 

 inoltre da avere in ogni intervallo finito un gruppo rinchiiidihile 

 di punti di discontinuità, si può, in %m campo \xi , a?2]' che si ot- 

 tiene escludendo, come di sopra è detto, i punti di discontinuità da 

 un tratto assegnato (^i . . . x^ con intorni la cui somma sia pic- 

 cola a piacere, rappresentare in un numero infinito di modi, me- 

 diante una serie di polinomi razionali interi. 



Tale serie converge assolutamente ed in egual grado entro il 

 detto campo. 



8. — A questo sviluppo se ne riannoda un altro analogo 

 in serie di funzioni trascendenti intere (*). 

 La prima di tali funzioni è la: 



/•-t-OO 



(*) Cfr. L. Maurer, Ueber die Mittelwerte der Functionen einer reellen 

 Variaheln, " Mathematische Annalen ,, B. 47. 



