ossia 



DI ENRICO D OVIDIO 

 «III «.12 «122 «22: 

 "ili ''112 "122 "222 



'mII "112 «122 «222 



Dunque, se A non è nullo, come supponiamo, 4 punti della curva 

 non giacciono in uno stesso piano, onde la curva è gobba. 



Ed è chiaro che la curva non ha punti doppi o cuspidi , né piani 

 bitangenti, né rette trisecanti. 



3. Tre punti distinti 1 (j. v della curva individuano un piano: 



^y> *yi *y* -y» 



«.' K' e,' d,^ 



a,' K' ^,' <' 

 «v^ bj C.3 <3 



, sicché la curva è di 3° ordine, ovvero una cubica gobba (*)• 

 Sviluppando il determinante si ha 





V c,^ d,^ 



V ^; d^' 



b.^ e 3 rf 3 



■X, 



«X^ C,3 ^,3 



«.^ K' d,^ 



•JC. 



a,' b,^ c,3 



e poiché 



fh' C,3 ^,3 



b,' e,' d,' 

 h} e 3 d} 



= {ll^)(X,){^i>).{bc){bd){cd)Ib,c^d,n, ecc. , 



(*) Seydewitz la chiama una conica gobba [ein raùmlich Kegelschnitt). 



(**) Qui la somma 2 si estende alle permutazioni di X fi v. 



Per dimostrare questa identità, si osservi che il determinante del 1° membro 

 è evidentemente divisibile per (XiJi.)(Xy){/j^y) .{bc){bd){cd) , e il quoziente è lineare 

 in X, : X,, . . . . , 6, : 6,, .... ; e sia 26. c^rf^Xs^eVi; > ove gl'indici son scelti fra 1 e 2. 

 Una permutazione fra X ^u y fra & e d può solo alterar il segno del 1° membro 

 e del fattore esterno a 2; onde 2 è costante per tali permutazioni, e può scriversi 

 Z(26. cpdj (2Xsja. v^), le somme parziali riferendosi alle dette permutazioni e la 

 totale agl'indici. Ora è chiaro, che non può mancare il termine 6. c^ cJ^ . X, ;itf v, , e 

 però 2 Xjfi^Vj.^2X,ft^y^; sicché la somma totale vale Z(2ta Cfdr) (2X.jLif v^) ovvero 

 2 bxCfid^ , la somma riferendosi alle permutazioni di X ;u v. 



