8 STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



si otliene l'equazione del piano per i tre punti X fx v della cubica: 



= X, .{bc) {bd) {ed) 2 b-^ c^ d, — x^. (ac) (ad) {ed) 1 a^ c^ rf, 



-l-o-j . {ab) {ad) {bd) 1 a^b^ d,—x^ . (ab) (ae) (be) 1 a^ b^ e, . 



Facendo coincidere v con X, si ha l'equazione del piano tangente alla 

 cubica nel punto X e secante nel punto ju. : 



0= X, . {be) (bd) (ed) 1 b-, c^ d^—x^ . {ac) {ad) (ed) I a, e-, d^ 

 M-Xj . {ab) {ad) {bd) 1 a-, b^ d^ — x^ . (ab) {a e) (bc) 1 a^ b^ c^ . 



E qui facendo coincidere [x con X si ha l'equazione del piano oscu- 

 latore alla cubica nel punto X : 



0= x,.{bc){bd){cd)b e^d^ — x^.{ac){ad){ed)a^c^d^ 

 -^Xs-{a b) {a d) {b d) a-^ b-^d^ — x^ . (a b) {a e) {b e) a^b-^^c^ , 



che chiameremo piano X. 



Un piano dato |' seca la cubica in tre punti, i cui parametri saranno 

 le radici della equazione 



o = a,^S,' -hb,^BJ-^e,^-^^' -i-d,^^^=n,^ = n\^ = . . . {*). 



Supponendo reali il tetraedro di riferimento e i coefficienti delle 

 forme a^' ^)? ^^ d,-^ j 1^ cubica è reale; e, se si suppone reale anche il 

 piano §', si vede che il piano può secare la cubica in tre punti reali e 

 distinti , o in un punto reale e in due punti imaginari coniugati, o toccare 

 in un punto reale e secare in un altro punto reale, o osculare in un 

 punto reale. 



4. Poniamo simbolicamente ' 



j A,3=: {bc) {bd) {ed) b^ c^, d^ B,3 = _ (ac) {ad) (ed) a^ c^ d^ 



1 C,3= {ab) (ad) (bd) a-, b^ d-, D>3= _ (ab) (a e) (bc) a, b-, Cy, , 



introducendo così 4 nuove forme binarie cubiche A^^^ 3^3 Q^ \)^ accanto 

 alle primitive a-^ b-^ c-^ d-^ , delle quali sono covarianti. 



(*) Qui si pone 



