DI E.NRII O D OVIDIO. 2D 



di parametro zero e secante nel punto di parnmetro oo , cioè ponendo 

 V-^' = 3).,^ X^ ; allora, essendo attualmente o = («U)^ = 3;^,,^ , avremo 



A. a,' H- A-, LV = A-, «,,, // ■+■ 3 ^,A-, «,„ -i- k\) >,'),, H- A". u,,X' , 

 e 



discr. (A:,M,^-»- A>U,^) = — 2 J i A,M,„(A■,«,„^- Ag' -♦- A/'a,,,»^,,/ ; , 



che può trasformarsi linearmente in 



lk,k'J-k-inf,\' . 



L'invariante quadratico di questa forma in A^ : A'^ è evidentemente nullo 

 Dunque : 



/ quattro punti ìiei (jiudi una retta reciproca di sé stessa (cioè del 

 complesso o^O^o) seca la sviluppabile , formano un sistema equi- 

 anarmonico ; e viceversa. 



E i quattro piani condotti per una retta recipì'oca di sé stessa a toc- 

 care la cubica Joi'mano un sistema ecjuianarmonico ; e viceversa. 



13. A complemento del § 8, osserviamo che il cono che proietta la 

 cubica da un punto qualunque è di 4'' classe (perchè ogni retta pel punto 

 seca 4 tangenti della cubica, e quindi per essa passano 4 piani tangenti 

 alla cubica) ; è di 3° ordine (perchè ogni piano pel punto contiene tre 

 punti della cjabica e cjuindi Ire generatrici del cono) ; ha una generatrice 

 doppia (la corda o focale del punto), tre generatrici stazionarie (le rette che, 

 nei tre piani osculatori pel punto, vanno dal punto ai tre punti d'osculazione), 

 e queste sono in un piano (focale del punto). Se il vertice sta .su una tan- 

 gente della cubica, il cono si riduce alla 3^ classe, con una generatrice 

 cuspidale ed una stazionaria ; al qual cono è da aggiungere la detta tan- 

 gente considerata come asse di un fascio di piani. E se il vertice X è un 

 punto della cubica, il cono si riduce ad uno di 2^ classe (o = 0^''j, più 

 la retta tangente in X alla cubica considerata come asse di un fascio di 

 piani e contata due volte. 



Dualmente : un piano qualunque è secato dalla sviluppabile secondo una 

 curva, che è I inviluppo delle tracce dei piani della sviluppabile sul piano 

 dato. Essa è di 4" ordine e di 3^ classe; ha tre cuspidi (1 punti ove il piano 

 seca la cubica) con le tangenti cuspidali concorrenti nel fuoco del piano, 

 ed ha una tangente doppia (la direttrice del piano). Se il piano passa 

 per una generatrice della sviluppabile, la curva diviene di 3° ordine, 

 con una cuspide e un flesso; e ad essa va aggiunta la detta generatrice 

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