26 STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



come punLeggiata. E se il piano appartiene alla sviluppabile , la curva 

 si riduce alla conica o = q-,^ più due volte la generatrice contenuta nel 

 piano (*). 



Involuzioni di punii (iella evinca, o di piani 

 della svihippabile. 



ìi. Fra i punti della curva, come pure fra i piani della sviluppabile, 

 possiamo istituire una corrispondenza proiettiva, e ciò in infiniti modi; 

 anzi i teoremi del § io permettono di ridurre una cosiffatta corrispon- 

 denza ad una piiì elementare fra i piani di due fasci o di un medesimo 

 fascio, ovvero Ira i punti di due rette o di una medesima retta. 



In particolare, basterà stabilire fra due parametri variabili p., : p.^ e 

 ix',:tx\ una equazione bilineare qualunque, per istituire una corrispondenza 

 univoca proiettiva fra i punti p. pi della cubica, o fra i piani p. p.' della 

 sviluppabile, od anche fra i punti p. della cubica e i piani p' della svi- 

 luppabile. 



Ancora in particolare, possiamo imaginare i punti della cubica, ovvero 

 i piani della sviluppabile, accoppiati in involuzione quadratica, e ciò in 

 infiniti modi ; bastando stabilire una equazione bilineare e simmetrica fra 

 i due parametri variabili p, : p.^ e p', : p.\. Una cosiffatta involuzione sarà 

 del tutto determinata quando siano dati i parametri di due coppie di 

 elementi coniugati , ovvero i parametri ).', ; \\ e X," : X"^ degli elementi 

 doppi, ovvero anche Tequazione che ha per radici questi due parametri. 



Se o :^ v-il è questa equazione, avremo 



t.,^ = (XV)(XX") ; 



e la relazione fra i parametri di due elementi coniugati nell'involuzione sarà 



= 1.^ v^. , ovvero o = (fxX') [pi X") -H [p' X') (/JiX") . 



I piani che passano per un punto fisso v della cubica e per ciascuna 

 coppia di punti p. p! in involuzione, formano un fascio intorno a una certa 

 retta per v, al quale fascio appartengono due piani per le tangenti nei punti 

 X' X", e queste tangenti sono le due che incontrano l'asse del fascio (oltre 



(') Due coni di 2" ordine con una generatrice comune si secano inoltre lungo 

 una cubica gol)ba. E due coniche in piani diversi ma con una tangente comune sono 

 iscrille in una sviluppabile di 3' classe (oltre che ne' piani per la tangente). 



