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la tangente in v presa due volte). Viceversa, un (ascio di piani il cui asse 

 sechi la cubica in un punto v segna sulla cubica coppie di punti in in- 

 voluzione, ecc. 



Dualmente, i punti comuni a ciascuna coppia di piani variabili p. p! 

 di una involuzione e a un piano Jìsso v della sviluppabile, sono su una 

 retta nel piano v, ecc. E viceversi, da' singoli punti di una retta in un 

 piano 1/ della sviluppabile si possono tirare coppie di piani della svilup- 

 pabile in involuzione, ecc. 



■15. Ancora, due terne di punti della cubica o di piani della svilup- 

 pabile, i cui parametri sieno le radici di due equazioni 



o — u^^ o=V-,^ , 



determinano una involuzione cubica di punti della cubica , o rispettiva- 

 mente di piani della sviluppabile; e gli elementi di una terna qualunque 

 della involuzione saran dati d.illa equazione 



essendo A, : A^ un numero variabile con la terna. 



Se si tratta di unUnvoluzione cubica di punti sulla curva, i piani delle 

 singole tei-ne dell involuzione, 



o = (PuY o = (PU)^ o = kX^ uy -h KCPV f , ecc., 



formeranno un fascio. E viceversa, i piani di un fascio qualunque secano 

 la cubica in terne di punti in involuzione. 



Se poi si tratta di un involuzione di piani, i punti comuni alle singole 

 terne , 



o=:(p uy o = (p Uf o = A_ (p uf -H A-^ {p Vy , ecc. , 



formeranno una punteggiata. E viceversa, le terne di piani della svilup- 

 pabile condotte pe' singoli punti di una retta formano un'involuzione cubica. 

 In ambo i casi vi saranno, in generale, 4 terne fornite di elementi 

 doppi ; e ciò conferma che in generale 4 rette X secano una retta data. 

 Fra i casi particolari è notevolissimo questo : che V involuzione am- 

 metta due elementi tripli, anziché 4 elementi doppi. Allora, se si tratta 

 di terne di punti in involuzione, nel fascio di piani da esse determinato 

 vi saranno due piani osculatori della cubica, cioè i piani osculatori nei 

 due punti tripli dell'involuzione; e l'asse del fascio sarà un asse della 

 sviluppabile, od anche la direttrice dei singoli piani del fascio. Se invece 

 si tratta di terne di piani in involuzione, la retta, luogo dei punti comuni 



