3o STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



o = (P«)' = {uu"T (u'u") (Pm) (¥uy=(uvy(Vuy(Pv) 



Vequazione del piano della terna congiunta ; piano, che diremo congiunto 



al primo (*). 



Ancora, ad ogni punto x dello spazio corrisponde un piano (cioè il 

 suo piano focale) e quindi una involuzione cubica di punti sulla curva 

 con due elementi tripli. Allora 



o = (Pn)3 o = (nn'7 (ii 'n ") (Pn) (Pn ')^ = . . . 



sono le equazioni di quel piano e del congiunto. E i parametri dei punti 

 tripli son dati dalla equazione 



o = Hess, n,' = (n n')^n,n', = Q? = q^^ = . . . 



In ciascuna di queste involuzioni cubiche di punti della curva , le 

 quali corrispondono ai singoli piani o anche ai singoli punti dello spazio, 

 le coppie di piani congiunti costituiscono alla lor volta una involuzione 

 quadratica di piani intorno alla comune direttrice; e i piani doppi 

 di questa nuova involuzione sono quelli che osculano la curva nei due 

 punti tripli della precedente involuzione ; sicché due piani congiunti sono 

 coniugati armonicamente rispetto a questi due piani osculatori. 



È anche determinata un involuzione cubica, di punti sulla curva 

 quando ne son dati i due punti tripli: se questi sono X' e A", saranno 

 o=:Pv^ o = Pv^ i due piani osculatori ivi, e 



o = A^ P,.^ H- A-.P,,^ o = A, P,^ - A.P,.,^ 



i piani di due terne congiunte qualunque. 



M. Dualmente, un dato punto determina una involuzione cubica di 

 piani della sviluppabile con due piani tripli. E se Tequazione del punto 

 (sempre comune a una terna di piani) è 



o = {puf , 



^^''^ o = (/j ay= {u u"Y (u'u") [p u) (p u' y 



quella del punto comune ai piani della terna congiunta; punto, che di- 

 remo congiunto al primo (**). 



(*) Cremona, Annali di MalemaUca, 1858 e 1859; e Nouvelles Annaks, 1862. 

 (**) Cremona, 1. e. 



