DI KNRIf;0 D OVIDIO. 33 



solo punto A. Una generatrice di «juesto sistema è la retta comune al 

 piano o:=P\. che oscula la cubica nel punto X' e al piano o^P^P 

 che la tocca nel punto X" e la seca nel punto X'; e un'altra generatrice 

 è la retta comune al piano o = P\„ che oscula nel punto X" e al piano 

 o:=P\. i'xv che tocca in X' e seca in X". Queste due ultime rette sono 

 di quelle che dicoiisi associate (''). Sicché i iperboloide passa pel c/iiadrila- 

 tevo i^obbo formato dalle due rette X' e X" con queste due rette associate. 

 Fissata una generatrice del u° sistema , p. e. quella che passa pel 

 punto X; un piano variabile per essa seca la cubica in due punti [j. p! , e 

 seca l'iperboloide lungo una generatrice del i" sistema, la quale dunque 

 seca la cubica in quei due punti [x jj.'. Codeste coppie variabili di punti 

 formano sulla cubica ima involuzione quadratica, della quale X' e X" sono 

 i punti doppi (§ i4). i'A è chiaro che ad ogni involuzione ijuadratica 

 di punti sulla cubica cori'isponde un iperboloide (**). 



IJ). Se si suppone che i parametri dei punti X' e X" sieno le radici della 

 equazione o^i\-=:v-^^ = . . . , l'equazione dell'iperboloide prende la 



forma o = (Q v)' = (P P')' (Pv) ( P'-y) . 



E se /JL (j.' sono due punti coniugati nella involuzione di cui X' e X" sono 

 i punti doppi, ossia i punti in cui una generatrice del i" sistema seca 

 la cubica, si. ha o = v^v^- , onde 



e però, detto X un altro punto cpalunque della cubica, l'equazione del 

 piano pei tre punti \i. ix' X (o = P^ P^. P,,) diviene 



<)uesta equazione, quando fx è fisso e X variabile, rappresenta un piano 

 qualunque per quella generatrice del i° sistema che seca la cubica in 

 jU. (e [x); e quando a è variabile e X fisso, rappresenta un piano qua- 

 lunque per quella generatrice del 2° sistema che seca la cubica in X , 

 fra' quali piani figurano i due o=Px,^Px e o = Pi.,*Px di cui sopra. 



Le coordinate-assi della i' generatrice saranno 



(AB)(Ai;)(Bi>')A,B,7.v<, , 



(*) Cremona, Nouv. 4)m., 1862. Esse sono reciproche di sé slesse. 

 (**) Quando i punti doppi coincidono in uno, l'iperboloide si riduce ai cono che 

 proiella la cubica da quel punto. 



Serie li. Tom. XXXII. e 



