DI ENRICO d'oVIDIO. 35 



La sviluppabile circoscritta ai due iperboloidi è di 3" classe. Un piano 

 qualunque per la corda suddetta ha per equazione 



e un piano della sviluppabile 



o = (Pi.)(PV)P,i;,V, = ^;(PV;P,-HV;(P^rP,_(,;V)^P,'n- 

 20. Ecco ciò che corrisponde per dualità alle cose esposte nei §§ i8 

 e 19. 



Esiste un sistema lineare di 00 ^ superficie di 2 ' classe ((/uadriche) 

 ISCRITTE nella sviluppabile, ciascuna individuata da due piani che debbano 

 toccarla e non appartengano alia sviluppabile. Fra esse figurano le co- 

 niche o-=q^ iscritte nella sviluppabile (^ 8). 



Una quadrica qualunque del sistema è, in generale, un iperboloide, 

 che ha per equazione (in coordinate di piani) 



O =q r <Jv' . 

 ove X' e X" sono due piani della sviluppabile. 



Esso contiene le due generatrici della sviluppabile esistenti nei piani 

 X' e X", cioè le rette X' e X", le quali sono sull'iperboloide due generatrici 

 di uno stesso sistema. Contiene anche le due rette associate, che uni- 

 scono i punti X' e X" delia cubica a' punti in cui i piani X' e X" della svilup- 

 pabile secano, rispettivamente le rette X" e X' ; e queste due rette associate 

 sono generatrici dell'altro sistema. Sicché Viperboloide passa pel quadri- 

 latero gobbo formato dalle dette due rette associate con le rette 1' e X". 



Per ciascuna generatrice del 1° sistema si possono condurre due piani 

 della sviluppabile, e le infinite coppie di tali piani costituiscono una in- 

 voluzione (sulla sviluppabile) di cui sono X' e X" i piani doppi ; mentre 

 per ogni generatrice del 2" sistema passa un sol piano della sviluppabile. 

 E ad ogni involuzione quadi'uticu di piani della sviluppabile corrisponde 

 un iperboloide iscritto nella svilujipabile. 



(*) Infatti : 

 1° Un piano per la corda seca la cubica ne'due punii v v' dati dalla =: (wV) «jV^ 

 e in un punlo variabile X, e quindi la sua equazione è (§ 5) 

 = P.P..Px=:(»V)(P«)(PV) P, . 

 2° Se X è un punlo arbitrario e X' X" i suoi armonici rispello alle coppie date 

 da ^—v-^ e 0=rVi^, sarà OrrPxPvPx- un piano della sviluppabile: ora essendo 

 0;=i'xiv e O^^ViVx", risulla dall'eliminazione di X' e X" 

 = P,PvPv = (Pi')(PV)P,r,V, . 



