DI ENRICO O'OVIDIO. 37 



Relie ofisociale. 



21. Data una retta per un punto ).' della cnl)ica gobba e nel relativo 

 piano /' della sviluppabile, e individuata la sua associala: basta imagi- 

 nare l'iperboloide circoscritto alla curva (o iscritto nella sviluppabile) e 

 |)assante per la retta data, e poi l'altra retta X" (oltre la retta ).') che 

 esso contiene, e poi la retta comune al piano )." e al piano tangente in 

 V e secante in ).". la quale sarà la retla associata alla data retta. La 

 corrispondenza fì-a due rette associale è dunque univoca e reciproca. 



Essendo le due rette associale che passano pei punti X' e )." due ge- 

 neratrici del 2" sistema sull iperboloide o = Q^. (ji-, corrispondente a quei 

 punti, ad esse si appoggeranno tutte le generatrici del i° sistema, le quali 

 secano la cubica in coppie di punti armonicamente coniugati rispetto a 

 X' e X"; sicché i due piani per una generatrice del i° sistema e per i 

 due punti p. (j.' in cui un'altra generatrice del i" sistema seca la cubica 

 sono coniugati armonicamente rispetto ai due piani per la prima gene- 

 ratrice e pe punti X' X' ; e quindi i due ultimi piani secano la corda [/.[jJ 

 della cubica in due punti armonicamente coniugati rispetto a p. e [j.'. Or 

 quei due punti si trovano sulle due retle associate uscenti da X' e X". 

 Dunque, date due rette associate, ciascun punto delfuna ha il congiunto 

 sull'altra; od anche, ogni corda della cubica che si appoggi all'una si 

 appoggia pure all'altra, ed è da esse divisa armonicamente. 



Per dualità, ogni piano per una delle due rette associale ha il con- 

 giunto che passa per l'altra ; ovvero, ogni asse della sviluppabile che stia 

 in un piano con luna sta anche in un piano con l'altra, e questi due 

 piani sono armonici con i due piani della sviluppabile che passano per 

 l'asse. 



Questa proprietà e la precedente mostrano che le rette, le quali uni- 

 scono i tre punti ove un piano seca la cubica al fuoco del piano, hanno 

 per associate le rette che nel piano congiunto uniscono i punti (rispet- 

 tivamente corrispondenti a quelli) ove esso piano seca la cubica al fuoco 

 del piano medesimo. O altrimenti, i piani tangenti nei primi tre punti e 

 secanti ne' currispondenti passano pel fuoco del 2° piano, e viceversa; e 

 inoltre i punti comuni alle rette tangenti della cubica nei primi tre 

 punti ed ai piani osculatori ne' tre punti corrispondenti stanno nel 2" 

 piano , e viceversa. 



