38 STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



Di certi fasci o schiere di superfìcie di 2° grado. 



22. Abbiamo veduto come ad ogni involuzione quadr;itica di punti 

 della cubica o di piani della sviluppabile corrispondano due iperboloidi, 

 l'uno circoscritto alla cubica e l'altro iscritto nella sviluppabile, ed aventi 

 per equazioni 



o = QvQv o = qxqx , 



se X' e X" indicano gli elementi doppi dell'involuzione. 



L'uno e l'altro iperboloide passa pel quadrilatero gobbo che ha per 

 due lati opposti le rette >.' X" e per altri due le rette associate uscenti 

 dai punti X' X" ovvero esistenti ne' piani X' X". 



Queste due coppie di inette sono altresì due coppie di spigoli opposti 

 di un tetraedro, del quale i rimnnenti due lati opposti sono la corda X'X" 

 della cubica e l'asse X'X" della sviluppabile, rette reciproche (§ 12). Onde 

 questa corda e questo asse sono due rette coniugatf, rispetto a ciascuno 

 de due iperboloidi, cioè tali che i piani polari dei punti dell'una passino 

 per l'altra , e viceversa. E precisamente, un punto della 1^ retta ha il suo 

 congiunto sulla stessa retta ed è polo del piano per questo punto congiunto 

 e per l'altra retta; od anche, un piano per la -2^ retta ha il suo congiunto 

 che passa per la stessa ed è polare del punto ove questo piano seca la 

 i^ retta. O altrimenti: il cono circoscritto all'uno o all'altro iperboloide da 

 un punto della i^ retta tocca l'iperboloide lungo la conica determinata in 

 esso dal piano condotto pel punto congiunto a quello e per la 2* retta. 



È anche chiaro che ciascun piano per una delle due rette seca i 

 due iperboloidi lungo due coniche, rispetto alle quali quella retta ha per 

 polo il fuoco del piano (che sta sull'altra retta); e rispetto ai coni cir- 

 coscritti da ciascun punto di una delle due rette ai due iperboloidi , 

 questa retta ha per piano polare il piano focale del punto (che passa per 

 l'altra retta). 



Inoltre apparisce, per la reciprocità che regna Ira i punti e i piani 

 dello spazio mediante la cubica, che i punti di ciascuno de due iperboloidi 

 sono i fuochi dei piani tangenti alV altro , e le generatrici dell'uno re- 

 ciproche di quelle dell'altro. 



Pel quadrilatero gobbo dianzi considerato passano non solo i due 

 iperboloidi fin qui accennati, ma infiniti (00') altri, costituenti un sistema 

 hneare , che può venir riguardato sia come un fascio sia come una 



