42 STUDIO SUM.K CUBICHE GOBBE ECC. 



equazione di 2° grado in [j., : /7., , che serve a determinare i due punti in 

 cui r iperboloide o::=I,.„ seca la data retta ). . E se si chiama r il rap- 

 porto anarmonico de' tre puati fissi )/ X" ). e del punto mobile fx sulla 

 cubica, cioè se si pone 



_()■'>). (?//7.) _ (>.')■) (XV) 



la detta equazione diviene 



0^2 ììi (r — I )' -H 9 (/ -I- m) /• 

 ovvero 



o = 2 7« /'' -I- (gZ -4- 5 m) r -^ '2m ; 



e sotto questa lumia serve meglio allo scopo. Essa è reciproca. 

 In particolare: 



per l'iperboloide o = QvQv ^ I, _, ^ ' , :_, si ha (/■ — i)'^o; il che 

 conferma che l'iperboloide tocca la retta X nel punto X; e siccome, detto 

 X'" il punto coniugato armonicii mente a X rispetto a X' e X", la corda XX'" è 

 una generatrice dell'iperboloide, così il piano tangente all'iperboloide nel 

 punto X è quello che tocca la cubica in X e la seca in X'" ; 



per l'iperboloide o = (7^ r/^.^I, ._^ ^ i, ._, si ha (/'H-iyzrro, vale a 

 dire che l'iperboloide tocca la retta X nel punto in cui la seca il piano X'"; 

 ed è chiaro che il piano ivi tangente all'iperboloide è il piano X ; 



per la coppia di piani o = P^' P'v^ = I, :„ si ha ;":=:o, co , onde 

 (^X') = o e [y.\") = o, com'era da prevedere; 



per la coppia di piani o^P\ Pv.P'v^P'v = Io-, si ha r = — 2, — { ; 



per l'iperboloide o ^ l5._g ^ f, ._5 si ha 7':^±)/ — i, sicché que- 

 sto iperboloide seca la retta X nei due punti in cui la secano i piani 

 osculatori della cubica in quei due punti che sono armonici tanto con 

 X' e X" quanto con X e X'" ; 



e per l'iperboloide o =: I.._,j ^ ;, ; _, si ha r^ "^-^ , 



sicché esso seca la retta X nei due punti in cui la secano quei piani 

 che osculano la cubica nei due punti ciascuno dei quali fa un gruppo 

 equianarmonico con X' X" e X (cfr. § i5). 



Per dualità, è manifesto che le coppie di piani tangenti agi' iperbo- 

 loidi, condotte per una generatrice della sviluppabile, costituiscono una 

 involuzione avente per piani doppi quelli che toccano (sulla detta gene- 

 ratrice) gl'iperboloidi o = QvQ)i t> = '/v ^x • E tutte queste involu- 

 zioni sono proiettive. 



