^^ STUDIO SUM.E CUBICHE GOBBE ECC. 



Gli elementi doppi dell' involuzione sono appunto i due iperboloidi 

 dianzi considerati o = I , .. 3 ^ « , ; 3 o = I , . _ , :^ t , . _ 3 ; sicché ciascun 

 punto di uno di questi due iperboloidi è fuoco di un piano tangente 

 allo stesso iperboloide. 



In amendue gl'iperboloidi ciascuna generatrice di uno dei due sistemi 

 ha per reciproca un'altra generatrice dello stesso sistema, e ciascuna 

 generatrice dell'altro sistema ha per reciproca sé stessa (cfr. § 12). E 

 precisamente, vedremo in seguito che nelf iperboloide o = I,.3Ss/, .3 le 

 generatrici del sistema cui non appartengono le rette 1' )." sono reci- 

 proche di se stesse, mentre le generatrici del sistema delle X' X" si cor- 

 rispondono a due a due in involuzione come reciproche, e le X' X" sono 

 le rette doppie dell'involuzione. Invece nell'iperboloide o := I, ._3 ^ i, ._3 

 le generatrici del sistema delle X' X" sono reciproche di sé stesse, e quelle 

 dell'altro sistema sono accoppiate come reciproche in una involuzione di 

 cui le rette doppie sono le due rette associate condotte pe' punti X' X" (*). 



Ecco alcune coppie di iperboloidi coniugati nell' involuzione dianzi 

 accennata : 



= I.._. =^J.:-, = Q.Qv 

 = l5._5 =Ì,:_5 



= I.,„ ==P\.PV 



o=I„.. h:e;PvP,..P'/P'v 



= I,:-<,= Ì,:-, 

 = 1.:, ^ir.g 



È opportuno notare che, quando i parametri dei due punti o piani X' X" 

 sono le radici della equazione di 2° grado 0= Vi,'' = v'^ :=:... , allora 

 si ha 



(*) Supposi! X' X" X reali, se la retta K secasse in punii reali l'iperboloide su cui 

 le generatrici appoggiate alle X' X" sono reciproche di sé slesse , allora quella fra 

 tali generatrici che passa per uno de' due punii suddetti sarebbe reale , e la quarta 

 tangente della cubica che essa incontra (oltre le X X' X") sarebbe reale. Or questo 

 contraddice a quanto dimostreremo in seguito, cioè che il punto che la delta quarta 

 tangente individua sulla cubica fa sistema equianarraonico coi tre X X' X". Dunque 

 l'iperboloide in quistione non può essere 0^::il,:_3, che è secalo dalla retta X in 

 punti reali; ma è invece = 1,: 3. ' 



