DI KNRICO O'OVIPIO 53 



Osservando poi che 



2 (Pn)' (Pi.) (na.) = 2 (Pii)' (P'n')' (Pv) (av) (PV) (nV) 

 = 2 (Pn)' (P'n')' (Pv') (Hv) (P'v) (n'v) 



= (Pn)' (P'ir; | (P.-) (Wv') - (P^,') {Wv) > \ (PV; {Uv) - (P'v) (ilv') [ 



-^-(Pny{P'ivy{Pv)(nv'){P'v)(n'v') 



= (Pny{P'ny(Pn'){P'n){vn>'y^:i(Pny(P'n'y{Pv)(n^')(P'v)Hi'v') 

 = ) (p~n~f- (QQ/j {vv'y-i-2(Pny(P'n'y{P7>){nv-){P'v)(n'v'j , 



si ottiene pel discriminante medesimo l'altra espressione : 



(vv'y (QQ)'— 2 (Pn)' (P'n')' [Pv) (iW) {P'v) (nV) . 



Un caso particolare notevole si ha quando si suppone che i due punti 

 doppi /x' e p." dell'involuzione coincidano con i due punti /,' e )." in cui 

 la focale di x' e x" seca la cubica, ossia quando 



Un altro caso notevole si ha quando si suppone che p/ e jj." coinci- 

 dano in un sol punto [j. dato, vale a dire quando v, . v^^i^j.^ : — p., : 

 allora l'equazione del piano polare di jc' rispetto a uno degli iperboloidi 

 o = QxQ^ , che sono circoscritti alia cubica e passano per la retta fissa (x 

 formando così un fascio, riducesi a 



o=(Pnr(P,n,H-P,no = 2CPnrp,n^-f-(Pn/(Xp); 



e al variare di X inviluppa una retta, le cui coordinate-assi sono 



j(AB)n,n;H-(nn')A,B^!(An;(Bn'r 



Da ultimo , si rientra nel caso dei coni x' . . . , considerato al § 26, 

 supponendo i\^ identicamente nulla ; ma allora le formole ora esposte 

 divengono illusorie. 



È superfluo sviluppare le proprietà che corrispondono per dualità alle 

 precedenti, e che costituiscono una estensione dei risultati ottenuti al § 28. 



Alcuni particokiì'i sistemi di siqìerfìcic di 2° <jrado. 



30. Siano X' e )." due dati punti della cubica, saranno o = P^' 

 e o = IV' i piani osculatori in questi punti; e sarà := A, Pj.^-i- A.Pj..' 

 un piano qualunque é,' del fascio da essi determinalo, cioè il piano focale 

 di un punto qualunque x (0 = k,pr' -^ k\p^J) della corda ).').". 



