J)^ STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



Consideriamo la quadrica 

 o =(/-»- m) (IV'^.' ■+■ ì\>'*/) -H 2 I,,„ k, k, 



= (l^m) (iV^A.^ -4- P7'A-) h- 2 } {l-hm)F,'V\J-m{l'ryQ,Q,..\k,k^ 

 = (Z-H/«)(A-, P,' -t- A-, P,,5y - 2mfn7Q,.Q,.A-.A-, 



La quadrica o = K tocca f iperboloide o = Q,. l}y lungo la conica che 

 esso ha comune col piano §' o o = A,P^' -H A-^ P,.^ (cfr. § 26 in fine); 

 sicché il punto x" , congiunto a x fuoco di |', ha per piano polare il me- 

 desimo ^' anche rispetto alla quadrica o=K. La stessa o=K seca poi t iper- 

 boloide = 1, „, lungo due coniche nei piani o=A,P/^A^V — ' Px"% 

 sicché lo tocca in dne punii sull'asse del fascio di piani; punti che appar- 

 tengono anche agli iperboloidi o = 0^, Q^,,, o=:q^,(jy,, e a* tutti quelli del 

 sistema studiato al § 22 e seguenti. Onde la corda l'I" e l" asse VX" sono 

 due lette coniugate anche rispetto alla quadrica o=K. Di piiì la quadrica 

 o = K tocca la cubica gobba nei tre punti che questa ha nel piano è'. 



Variando l : ni, k, : k^ , ).' e >", si ha un sistema di co* quadriche o=K. 



Se si fa variare solo il parametro l : m . si ottiene il fascio delle 

 quadriche circoscritte a o = Qv Qv lungo la conica testé ricordata. 

 Fra esse il cono circoscritto dal punto x" (del quale cono demmo l'equa- 

 zione al § 26), l'iperboloide o^Q^. Q^-, é il piano §' preso due volte. 



Se invece si fa variare solo k, : k^ , si ottiene un sistema di co qua- 

 driche , di cui due per ogni punto dello spazio; e si trova t inviluppo 

 del sistema annullando il discriminante della forma K quadratica in 

 A. : A, , cioè 



(/ H- mf P/P',.^ -)(/-»- ni) P,'P',.^ - m {l'V'Y Q^Qv f 

 = m (X'X'r QvQv 1 (2 / -H m) Pv'P'v' ■+■ mP/ Pv-P'/PV { 



= /« (VX"/ QvQv ■ l2i + m:m= « I, :-.!./+ mm i 



sicché ['inviluppo si comporrà dell iperboloide o :^ QvQv^Ii- ■ ^^ 

 considerato, e dell'iperboloide o = !»,+,„ „, . Il contatto con quest'ultimo 

 avviene lungo la conica comune ad esso ed al piano ^"(o = A",Pj.^ — A^P^.^) 

 congiunto a ?' ; poiché si ha identicamente 



K = (/ -H m) (A, Pv^ - A, P,.')^ H- 2 A, A, I, , ^ „. . „ . 



E x' é il polo del piano |" rispetto alla quadrica o^K . 



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