DI ENRICO d'oVIDIO. ,55 



Tornando all'ipotesi ciie varii l . m , si vede che ai variare delliper- 

 holoide o = T, ,„ varia anche o = I,,^^ „,. Si hanno cosi nei fascio di 

 tali iperboloidi due serie proiettive di iperboloidi. Gli elementi uniti di 

 esse sono determinate dalia equazione 



/ ; m = 2 / -I- /K : /n , 

 onde 



/« = o e l -i- in= o : 



e però sono: la coppia o = I, „ dei piani ).' À", e l'iperiioioide = 1, _, 

 ^QxQx- I^ue elementi corrispondenti danno con questi due elementi 

 uniti il rapporto anarmonico costante 2, vale a dire che o=I,^ 

 e = 1, _, sono armonici con o^I, „, e con la coppia de' piani X' X''. 

 All'iperboloide o-=.q.^.q^..~\^._^ corrisponde nella 2' serie o = I. _ 

 e nella i" o = I, _„ ('). 



%\. Osserviamo che )',:)', e ).,"■/./' sono le radici dell'equazione 

 o =:Hess. M^^ = yi% posto ciie o = z/^' dia i parametri dei tre punti in 

 cui la cubica è secata dal piano ^'. Allora si può assumere 



Qui ponendo una volta )/' e — /,", un'altra volta X'^ e — X', , ai 

 posto di P, e P^ , si hanno le relazioni 



^,(X'X7 = «,.' A-,(X"XT=«/- 



Da queste poi si ricava 

 A-.A-.(X'X7 = -«,^«V 



= — \ ("v "'v -«- "'v«v) ) ("v "'v — "v "!■■)"-•- "x- «X" "V "'v ' 

 = — 5 [UyU\. -|-«\. ?/,.■) ! ()/X")'(MMy -f- Uy 11^. u\.u\.. \ 



= - (x'x'T V, V,.. = i (X'X'T (X'x'T = { (yry 



ovvero 



2A-,A-,(X'X"/=i . 



(*) Similmenle = i/„, = ]„,;,/ e = «'.;+„ m = im.8/4-9m costituiscono due serie 

 proiellive, ecc. 



(**) È nolo che nella nostra ipolesi 



Uy^ìly.' — {uvf Ui' = . «'x"*u'v — («»)' Uy — . 



