58 STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



dalPiperboloide, e i due piani per essa e per queste sono tangenti all'iper- 

 boloide. Adunque le generatiici del i" sistema sono accoppiate in invo- 

 luzione come reciproche , e però due fra esse sono reciproche di sé 

 stesse. La quarta retta X che seca una di queste due rette, riescirà tan- 

 gente all'iperboloide nel punto ove incontra la detta retta (l'unica che si 

 appoggi ad essa e alle tre date e sia reciproca di sé stessa). 



33. Torniamo alla quadrica piiì generale o=K. Essendo essa cir- 

 coscritta all'iperboloide o :=QvQv=i, -, secondo il piano |' che ha per 

 poto x" (o^A'.^v^ — ^\P\"^) y '^ sua equazione in coordinate di piani dovrà 

 aver la forma 



o=r{k, py? — k^py?Y-\-^si, _,^,A-, . 



Ora possiamo dimostrare che alle posizioni 



/ : m = — I , — 5 , o 



devono corrispondere rispettivamente le seguenti 



/■ : i= o, — 4 ' 00 . 



Infatti . 



per / : m = — i si ha 



e però l'ultima equazione deve ridursi a o=i, _^, onde r:s = o ; 



per l:m:= — ^ si ha (§ Sa) 



K = H = 2 (A.;,,.' — l<,py.r — ^ - , k. K , 

 e però l'ultima equazione deve ridursi a questa, onde r : ^ = — 4j 



per / : TO = o si ha 



K = (Pn)^ -(QQ)' , 



espressione che, eguagliata a zero, rappresenta (*) il cono circoscritto dal 

 punto x" all'iperboloide o=QvQx"; e però l'ultima equazione deve rap- 

 presentare il punto x"{o = k,pJ — k^px"^) preso due volte, onde ^^o 



e ^' : ^ = co . 



*) Cfr. § 27 in fine. 



