1)1 ENRICO D OVIDIO J9 



Tenendo conio delle osservazioni che precedono, ed osservando che 



si può assumere 



r: s = al-^^m : a.'1-hP'm , 



è facile determinare i rapporti di x |3 a' ^\ e concludere 



r : s =z 5 (l -k- m) : l . 

 Adunque l equazione della quadrica o = K in coordinate di piani sarà 



o = 5{l-v-m){k,p,.'-k,p,jy-^2li,_^kX 

 = 5 {l^m)'{P'k;-hP'k:}-i-o. \ (^l-hSm)p,'p\J-hglpr'prp\-'p\\kk^ 

 = 5 (/-H/w)(yyv''V-t-yyv'V) — 2t,.,+5m„/A",A-^ 

 = 5 (l -i- m)(k,py^ -^-k,py.'y — 2t;,^,„„^,A,Ar, 

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= 5 {l-^m){p^y -l^(pu){p-v){pvr{p'v"r-i-l{qvy 



a 



= 5{l-i.m){puf -i-^:^{p v){p'u) (pv'Yip' u"y— {q l-h IO m)(qvy 



Si noli che solo per l: m^ — i e per l : in :^ — \ (casi già discussi 

 innanzi) le equazioni della quadrica o=K in coordinate di punti e di 

 piani si riducono a dilFerire soltanto per io scambio di P I in yg j; poiché 



solo allora ' 



Z-j-m l m 



5(l-k-m) — (4Z-f-5m) — 9Z ' 



34. Basta accennare che, oltre alle quadriche esaminate nei §§ pre- 

 cedenti , si possono considerare quelle che ad esse corrispondono per 

 dualità, e le cui equazioni o^A",.„ ^ .^ ^.)^=A si deducono da esse 

 scambiando i punti coi loro piani focali e i piani coi loro fuochi , ossia 

 Pel con pei. Per due quadriche corrispondenti nei due sistemi 

 avviene che luna sia il luogo dei punti i cui piani focali inviluppano 

 l'altra, e viceversa (*). Si hanno cosi due serie proiettive di quadriche, 

 delle quali serie gli elementi uniti sono determinati dalle equazioni 



Z-H/n m — ni 



5(Z-Hm) gZ-t-iom gì 



(*) Per esempio, si corrispondono gl'iperboloidi = QvQx" 0=zqvqy, e i punii 

 dell'uno sono fuochi dei piani dell'allro. 



