62 STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



L'equazione del piano , superficie terza polare del punto x' rispetto 

 alla sviluppabile e seconda rispetto alla superficie di 3° ordine o = (Tny, 

 si ottiene da questa ultima equazione scambiandovi x con x' , ed è quindi 



o=(nn'7(n'n")(Pn)(Pit7=(nQ)(pn)^(PQ)=(PT)5 



— ^MoP.^ "■ i , 



(indicando con Q^^ e T>^ l'Hessiano e il covariante cubico di 11^'). Dunque 

 il piano polare di x è il piano |" congiunto di ^'focale di x'. 



Per ottenere l'equazione della quadrica, seconda polare di x' rispetto 

 alla sviluppabile e prima rispetto alla superficie di 3" ordine o^(Tn)', 

 basta scrivere la equazione di quest'ultima sotto la seguente forma sim- 

 metrica rispetto a P P' P": 



o = (PP'y(P'P")(Pn)(P'nyH-(P'P"y(pp")(P'n)(Pn)^ 

 -»-(PP7(P"P')(pn)(P"n/^(P'P)(P"P)(P'n)(P"n/ 

 -H(P"P')'(PP')(P"n)(Pn)'-i-(P"P)'(P'P)(P"n)(P'n)\ 



e poi cambiare P" in II'; il che di 



o = 2(Pn)^(P'n7j(Pn')(P'n)— (PP')(nn)j 



— 2(PP')'(nn7(Pn)(P'n') 



= 2(Pnf (P'n')'j(Pn)(P'n')— 2(PP')(im') | 



— 2(PP7(nn7(Pn)(P'n') 



= 2(pTI7' — 2(PP')(nn')(pn)(P'n')J2(Pn)(P'n')-i-(PP')(nn')| 

 = 2^pn7'— 2(PP')(nn')(Pn)(P'n')j3(PP')(nn')-i-2(Pn')(P'n){, 



e poiché (PP')(nn')(Pn)(P'n')(Pn')(P'n) è nullo, risulterà 



o = 2"(Pn7' — 3(PP')'(nn')^(Pn)(P'n') . 



Come si vede , la qiiadrica polare di x' appartiene al sistema delle 

 o = K, „, ^ ^ (studiato nei §§ 3o a 34), ed è precisamente la 



o=K_3,,_^,^=p;7'x.^-2i,_3A-.A-.-+-iv^^^;(*) , 



se X' X" sono i punti di appoggio della retta focale di x' sulla cubica 

 e o^=k^py-^k^p^J è l'equazione di x' ('"*). 



(*) L'iperboloide 0^1^ _3=f, :_6 ha per corrispondenle il già consideralo 

 0=:I,:-3=i,._3 nella seconda delle due serie proiellive accennale al § 30. 

 (**) È facile verificare che 





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