DI ENRICO d'ovIDIO. 67 



2 E,^E, = (Pn)P,n,(P.n,+ P,n,)=(AB)A,B,(A,B^+A,BOs„-t-. . . , 



6E,'E,E,= (Pn) j (Pxn,-HP,no(PA-hPA)+PA(P.n.-HP,n,)i, 

 6 e,'e; = (P n) ) (p,n^ -KP^n,;-»- 2 P,P,n,u, { 

 = (Pn)xx^;+6(Pn)P,p^n,n,. 



La 



o = (Pn)P,P^n,n^ = {AB)A,A,B,B,3„H-... 



=e,^e;-', (Xp.ro 



è l'equazione del piano pe'tre punti X fi x' quando questi son fissi e x 

 variabile; o del complesso (speciale) di rette appoggiate alla corda Xju., 

 quando questa è fissa e x x' variano. 

 La 



.. = E,^E,= ... 



rappresenta il complesso (speciale) di rette appoggiate alla retta comune 

 al piano X e al piano pel punto X e la retta ju , se X e /ui sono fissi 

 (cfr. § 19); ecc. 



Ciò posto, formiamo gl'invarianti e covarianti fondamentali della bi- 

 quadratica E^* : 



L' invariante quadratico è 



(££')'•= ^(Pn)(EP)'(En)^ 



=(*)t(Pny(P'n7-H(pn>(P'n')(PP')(nn')(Pn')(P'n) 

 = ^o^ 



e, stante il suo significalo (**), vediamo che quelle rette che secano quattro 

 rette X relative a una quaderna di punti o piani X eqnianarmonici, sono 

 le reciproche di sé stesse; cioè formano il complesso lineare o=0 preso 

 due volte (***). 



Il covariante biquadratico o Ilessiano è 



F,*= (EErE;EV=ó(Pn)^E,'.-H(Pn)P,n,E,^(EP)(En) 



= ; (Pny E,^-i- i (Pn) e; * (EP;n;H-(En)^p,^_(PnrE,' { 

 = - i OE,^H- 1 (Pn)E,') (EP)^n;H-(Enrp,^ | : 



(*) Ponendo nell'espressione di Ej^'E/ Pj e — P, per X, X^, ITj e —II, per m, f^,- 

 (**) L'invariante quadratico e il cubico sono rispellivamenle nulli quando i quattro 

 elementi rappresentali dalla biquadratica sono rispellivamenle equianarmonici o ar- 

 monici. 



(***) Si raffronti questo teorema con quello dimostralo in fine del § 12, di cui 

 è un complemento. 



