D[ ENRICO DOVIDIO. 69 



in un punto almeno, e da quelle che giacciono in un piano almeno della 

 sviluppabile; sicché i complessi speciali di 3° giado 



0=0^ — 360 0=0^— 12G 



sono rispettivamente formati dalle rette pei punti della cubica e dalle 



rette nei piani della sviluppabile. 



Quindi, se x è fisso, 



= 0'— 36G 



è l'equazione del cono di 3° ordine che proietta la cubica dal punto x 

 (cfr. § 1 3) ; e 



o = 0'— 12G 



è l'equazione della terna di piani della sviluppabile che passano pel 

 punto x'. 



In particolare: se x' è un punto p della cubica, si ha 



e siccome l'invariante cubico è allora (■■) — ;jg(APj^)% cosi sarà 



G = 4(AP/)' 0' — 36G=o O'— i2G = |-(AP/)' ; 



il che prova che in generale o:=0' — 12 G è la terna de' piani della 

 sviluppabile per x' e o = 0' — 36 G il cono da x' , e non viceversa. 



Più generalmente : una retta seca quattro rette X relative a punti o 

 piani X di dato rapporto anarmonico £, se 



• TT C 



(EF)^' '♦(I^S)^(2 — c'y(l— 2£)^ 2 ' 



onde 



o=0'>— €''(0'— i8G)'=j(i-4-£')0'— i8c-'G|j(i— £')0^-f-i8£'Gj, 



sicché le rette in questione formano due complessi di 3" grado. 



L'equazione del cono circoscritto da x' alla cubica può trovarsi al- 

 trimenti come segue: 



Il piano per la corda Xy. e x', e il piano per la focale di x' e il 

 punto >. , cioè 



o=(Pn)P,p^n,n, o=(PQrp,, 



(*) Se o-\^lìx è una biquadratica in cui «x sia una forma lineare, l'invariante qua- 

 dratico è ì[^^\ il cubico ~ì^*\ l'Hessiano — j («-S)'*,»^^.*- l(/3/3')'ixv* , e il 

 covariante sestico \[v.lìfci.-)^li\[li'(iL). 



