■jyO STUDIO SULLE CUBICHE GOBBE ECC. 



si secano lungo la retta x'I ; ed eliminando X dalle loro equazioni si 

 avrà quella del cono: 



o=(Pn)(PP')(nP")(P''Q)'(P"QTP,n^ 



= e; (E P) (E P') (P Q)^ (P 'Q'y - i P^P '^ (P Q)' (P 'Q'Y (P "n)' ; 



qui [x è un punto dato della cubica ma arbitrario, con la sola condizione 

 che non sia Q^*r=o. 



Se x' è un punto p della cubica, si ha 



u,' = (piY n,(Pn)(nP") = (p,.)P,P'; q; = (M; , 



e l'equazione del cono riducesi a 



o=(pf.)(pp')p,p,p';p7=U/'f^y.Q;.p.s 



conforme al § i3. 



39. Abbiamo più volle incontrato l'iperboloide = 1,3 = ^,. 3, sul 

 quale (§ 25 ) le generatrici di un sistema sono reciproche di se stesse 

 (ossia appartengono al complesso o = = 0) , e quelle dell'altro sistema 

 sono a due a due reciproche, ed accoppiate in una involuzione, le cui 

 rette doppie sono due rette 1' X". Di qui segue, come dimostreremo or 

 ora, che le coordinate-raggi di una generatrice di questo secondo sistema 

 e della sua reciproca sono della forma: 



z., = k,\[ab)a.;b/-t-k:.{ab)a,.'b,..':izkX.^^{aby , ecc.; 



sulle quali eseguendo la somma 



si ottiene la relazione 



lE,^=V(n'y-i-A-;(xx7. 



L'invariante cubico di E> è dunque nullo (*), e per conseguenza 

 le 00' generatrici non reciproche di sé stesse negli co" iperboloidi 



(*) Poiché se «x' e Bì^ sono due forme biquadratiche, l'invariante cubico della 

 a?-»-fc;S/ è 



! 



(«a'f (a a'V {a.'a"f + 3 fc (a a')» (a«)» (a'fi)'-i- 3 K' [BB'f [a.BY [<».B'f-^k^ (BB'f [BB" f [B'B 



ed è nullo se «x e Bi sono due forme lineari elTellive. 



Od anche: perchè la E^" si può trasformare linearmente in ^("-♦-Xj'', il cui in- 

 variante cubico è nullo. 



