NOTA 5* - DI ALESSANDRO DORNA. 23 1 



Affinchè s varii fra -i-i e — i, come è richiesto dall'equazione [3o], 

 ed il coefficiente A sia reale [29] , basta prendere per p e q ìe due radici 

 che sono o che comprendono i limiti dell'integrazione; perchè variando 

 allora x solamente fra p e q,ìa z varierà solamente fra -i- i e — i che 

 a p e q corrispondono ; ed inoltre, come si è veduto piià so|jra, dette 

 radici dovendo essere quelle della seconda e della quarta serie, oppure 

 della prima o della terza delle [22], secondo che A,, è positivo o negativo, 

 risulta dallo schema B che è reale il radicale del denominatore di A. 



Nello schema B i numeri a, b, e sono negativi o positivi secondo 



doc 

 che -7— è positivo o negativo. Quindi il fattore p — q ha Io stesso segno 



ci ce 

 di -7- per X nelle serie i^ , 2!" e y e segno contrario per x nella 4'- 



P dx 

 Ma il rapporto e -7- sono di segno contrario [35]; quindi P è 



positivo o negativo , secondo che x è o non è nella l^ serie [2 2]. — 

 Apparisce anche dai segni del fattore u — x nello schema B che tal 



quantità ha il segno di -y— se x è nella 2* serie, e segno opposto se x 



è nelle serie i", 3^ e 4^ Ma, [32], il rapporto ^ è anche di segno con- 



d X 

 trarlo a quello di —rr^ ; adunque Q è negativo o positivo secondo che x 



è o non è nella 2^ serie [22]. Pertanto sono (*) 



[36], 



P=: \/r- r¥- T se a; è nella 4' serie [22] 



y{q-T:){q-K) ^ 



P = — 1/7^- —^ r' se X non è nella 4^ serie [22! 



Q= — \/)^ — 4 , ", se x è nella 2^ serie r2:>l 



Q= 1//^- T-T- i se X non è nella 2° serie [22]. 



(') La deduzione dei segni di P è identica a quella cbe si legge a pag. 50 nella pregevole 

 Theorie der elliptisclien functionen vnn Dr. H, DUEÈGE, dritle aufgale Leipzig, 1878. Ma per Q i^i si 

 legge: Man ùbtrsieht leiclii dass vun der gròsse Q ganz das nàmlich gilt; e la regola dei segni nella 

 furmola contenente il valore di Q è data in accordo con tale supposizione. 



