DI FRANCESCO GERBALDI. 3l5 



incontreranno in quattro punti; di più il lapporto anarmonico dei quattro 

 piani per questi quattro punti e per una delle dette generatrici è il rap])orto 

 anarmonico dei detti quattro punii, sia che questi si considerino sull'una, sia 

 che si considerino suHallra cubica, perchè la generatrice, per la quale si sono 

 condotti i quattro piani, è corda comune alle due cubiche. Pertanto si può 

 fare che ciascuno dei quattro punti in discorso corrisponda a sé stesso, e 

 allora tutte le cubiche ilei sistema da noi considerato passeranno per i 

 medesimi; ditatto siccome in tal caso, detto f;. il parametro d uno di quei 

 quattro punti, si ha 



cosi l'equazione del punto [x duna cubica qualunque g, non dipende da x^ 

 poiché in essa è lattor comune /.^H-px,. In questo caso adunque il si- 

 stema di cui ci occupiamo si riduce a quello di Chasles. 

 Per dualità l'equazione 



= (x,^,'+ x,A')x, + .... + {y..D,' + y.,B^')x,^ = K.P,' + x,^,^ 



fisso X, variando X, rappresenta gli infiniti piiini di una sviluppabile di 

 3" classe G, ; e per gli infiniti valori di x si hanno infinite sviluppabili , 

 le quah compongono il sistema che si vuol considerare, e sono tutte 

 inscritte in una stessa superficie W, di cui generatrici sono le rette 

 intersezioni di piani corrispondenti alle due cubiche date. 



§ 4. Quando son dati i due parametri x e X, è determinato un punto 

 [punto (x, X)] sulla superficie Y, come intersezione della cubica g, colla 

 generatrice X. Una fdnzione algebrica, intera, nei due parametri x : x^, 

 X, : Xj, quando si prenda x, =j_, X, = j-^, x^=:X^z=j3, sarà una forma 

 ternaria, ed eguagliata a zero rappresenterà una curva sulla superficie Y. 



Se in un piano (piano l'appvpsentativoj si stabilisce un triangolo fon- 

 damentale di vertici A^, A^, A^ e le j, , j'^, 73 si considerano come le 

 coordinale omogenee d'un punto di esso piano, a ogni punto della super- 

 ficie Y corrisponde un punto del piano, e reciprocamente; quindi a ogni 

 curva della superficie Y corrisponderà una curva nel piano, e tali due curve 

 saranno rappresentate dalla stessa equazione. In generale, dalle proprietà 

 delle curve del piano si potranno inferire proprietà analoghe perle curve, 

 che sono situate sulla superficie Y , e che hanno la detta corrispondenza 

 con quelle del piano. In particolare: a una retta nel piano pel vertice y/, del 



