320 SUI SISTEMI DI CUBICHE GOBBE 



le slesse radici, le quali sono i parametri delle 4 generatrici che incon- 

 trano la generatrice /t.. Dunque ogni generatrice della superfìcie V è in- 

 contrata da altre quattro , o, ciò che torna allo stesso, è incontrata in 

 quattro punti dalla curva^doppia ('■). 



Di ciascuna delle (3) prendendo il discriminante rispetto a p., ed 

 eguagliandolo a zero, si avrà un'equazione del 24° grado in X, la quale 

 fornirà i parametri di quelle generatrici, che sono secale da due altre fra 

 loro infinitamente vicine. Dunque sulla superficie Y vi sono 24 generatrici 

 che sono toccate dalla curva doppia ('"'). 



Se poi nelle (3) si fa X =1 p., esse diverranno 



1 o=i{ab)a^"b^-{c'ii)c^'\"-^{ac)a^"c^.{\sò)K"'is^^ ... , 



^^' \ o=[AB)ACB:-{(s.M)(si:^:+{Ac)A:c:.[m)^,'^:^... -, 



queste sono dell'S" grado in ), , quindi si conchiude che esistono 8 tangenti 

 all'una cubica data , le quali incontrano le corrispondenti tangenti all'altra 

 cubica data, e che la super f eie Y possiede 8 generatrici singolari, le 

 quali sono incontrate dalle successive, e quindi 8 punti cuspidali (■"•"''). 

 Tutti i piani tangenti alla superficie Y nei punti di ciascuna di queste 

 generatrici singolari coincidono in uno; si hanno così 8 piani singolari, 

 sui quali ritorneremo più tardi (§ 21). 



L'esistenza di quattro generatrici , che incontrano una generatrice \ 

 data, implica l'esistenza di quattro cubiche del sistema per cui quella 

 generatrice è una corda; invero sia [j. una generatrice che seca la gene- 

 ratrice "k, pel punto d'incontro devono passare due cubiche ^,, , g^,„ , sulla 

 g,, quel punto abbia il parametro /a, sulla g^.„ avrà il parametro >. ; ora la 

 cubica g^,, possiede anche un punto di parametro ),, e questo giace 

 sulla generatrice 1, dunque la generatrice "k è una corda di g^- dal 

 momento che passa pei due suoi punti ).,,u.. — In particolare esistono 



(*) Ciò è d'accordo col teorema generale « In una superficie sghemba di grado n, ogni genera- 

 trice è incontrata da altre n — 2 ». V. Cremona, Preliminari a una teoria generale della superficie. 



{**) Ciò è d'accordo colla formola 



2 („ _ -)) („ _ 3) 



clie dà il numero delle generatrici toccate dalia curva doppia in una superficie sghemba di ordine «, 

 genere zero. — Cfr. Math. Ann. Bd. Vili. — Zur Theorie der tuindschiefcn Ftàchen. - VoSS. 

 (***) Ciò è d'accordo colla Tormola 



2 (n — 2) 



che dà il numero delle generatrici singolari d'una superficie sghemba, d'ordine «, genero zero. — 

 Cfr. Voss, 1. e. 



