332 SCI SISTEMI DI CUBICHE GOBBE 



Una cubica qualunque g, ha per equazione in coordinate di piani 

 o = Discrim. {v.,p-^-i- x^y^^) = (Jih'Y — e-,* 

 = ry.,'' -\- ^s X,' /^ ■+■ (6 f — 2 / ') z,* x^' -1- 4 s x, x^^ -t- r x^* ('") 



= (^;>'r(y.VT(;'A''0(/^/>-.^+4(^y^O'(/''>r(/'/''')(/''p)>'>. 

 + [6(/>y.'r(|,p')>p)(y.y)-2(/;pf]x/x,' 



Quest'equazione è del 4° gi'ado rispetto alla variabile x, dunque nel si- 

 stema di cubiche g, ve ne sono 4 che toccano un piano dato; sia il 

 piano dato il piano ali infinito, risulta che nel sistema di cubiche g, esi- 

 stono quattro y9a/-aéo/e c«èfc/ie. Tra quest'ultima equazione e A,^r=o elimi- 

 nando X, si avrà l'equazione complessiva delle 4 cubiche piane del sistema. 

 Quando della torma h si prende il discriminante rispetto alla varia- 

 bile X , l equazione 



2 1 £ » 



o = qx tjx — ^x 



rappresenta una superficie di !s^ classe, luogo delle coniche )> iscritte nelle 

 sviluppabili osculatrici a tutte le cubiche g^ . Osserviamo che q^ <^\ — Q\ 

 è il risultante delle due forme p^Pt., e "^^"fx fi' 2° grado in fx ; ora le 

 equazioni 



rappresentano i punti d'incontro della tangente p. col piano 1 relativi 

 alle due cubiche date; quindi appare come la superfìcie o = (j^" rj^^ — 5^^ 

 sia una superficie rigata, che ha per generatrici le rette congiungenti i 

 punti corrispondenti sulle coniche X delle due cubiche date, chiamando 

 punti corrispondenti di queste coniche quelli, in cui esse sono toccate da 

 piani osculatori corrispondenti delle rispettive cubiche. Di qui risulta chiaro 

 che questa superficie di 4 " classe , e la superficie Y si toccano lungo 

 tutta la generatrice 1 di quest'ultima. 



(♦) Invero si ha 

 e poi 



{hh'f = (y/i'Z z,^ + 2 'eh')^ x,x, + ((i/i'l' x,' 



(yA'f =(??')' ^,» + 2 (9y)' ., x, + (c?)'x,' , 



{ehr = ,7 oy z,^ + 2 (oe'f X, X, H- (q o)» x% , 



{<^hf = {q<^f x,' + 2 (9q)'x, X, + (:iq7x,', 

 queste espressioni sosliluile nella precedente di {/ih'y, e osservato che {OO'f = t - \ i^, danno {hh'Y 

 in funzione dc"li invarianti fondamentali. 



