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§ 17. La superficie di 6' classe w^o è fimùluppo delle si>iluppab ili 

 osculatrici a tutte le cubiche g, , come pure a tutte le cubiche g^. In- 

 fatti 1 invariante w col suo annullarsi esprime la condizione affinchè l'in- 

 voluzione determinata dalle forme p^ -, fx' ammetta un elemento triplo (*); 

 ora, se ? è un piano dato, ed esiste un valore z,': x/, per cui y.^ p-^-y-y.^-^^ = o 

 ha radice tripla, è segno che i tre punti in cui il piano ^ seca la cubica g^, , 

 coincidono in uno , vale a dire | è un piano osculatore a g^, ; dunque 

 ogni piano tangente alla superficie m è un piano osculatore a una cubica g, 

 e vicevei'sa. — È notevole die i quattro coni ( di 6' classe) circoscritti 

 alla superficie w dai vertici del tetraedro formato dai piani tritangenti si 

 scindono ciascuno in 3 coni di 2° ordine (§ 12). 



Dall'equazione della superficie Y appare come questa e la superficie w 

 si osculano lungo tutta una curva della 1 2" classe, e questo spiega il 

 perchè, mentre in generale per una retta passano 6 piani osculatori a 

 cubiche g-, (i 6 piani tangenti alla superficie u condotti per la retta), 

 per una generatrice X della superficie Y ne passino invece solamente 

 due (§ i3). 



Consideriamo un punto d'incontro d'una cubica g^ colla superficie w; 

 questo è perciò un punto comune a Y ed w ed è anzi un punto di oscula- 

 zione, sicché in esso esiste un piano tangente comune a F ed w, il quale 

 è facile a vedersi che deve essere osculatore ag'. ; laonde tenendo presente 

 che una cubica^, ammette 6 piani osculatori tangenti a F (§ ^3), 

 segue che una cubica g^ non può incontrare in piià di 6 punti differenti 

 la superficie a, ma in ciascuno di essi è osculatrice alla superficie w. 

 Dunque « tutte le cubiche g^ osculano ciascuna in 6 punti la super- 



ora queste, tenendo presenti le relazioni (Clebsch, 1. c., § 100) 



— 4 j w = 3 «* -t- ri- — 2 J t'^ — 4 j S 

 r s t 



2w« = 

 si sempliGcano e divengono 



laonde 



/ — 12w»-4:3w-HÌ<S 

 i 3 _ C/V' = 32 «3 (2 1^ — 27 a\ 



(♦) V. Ci.FBSCH; o. e. , § 100. 



