DI FRANCESCO CERBALDI. 335 



fide a ». Di qui risulta che la superficie w, la quale abbiam visto essere 

 della 6* classe, è ancora del 6° ordine. 



Esiste un numero semplicemente infinito di piani, che sono osculatori 

 a due cubiche del sistema , ed è facile a vedersi che essi sono i piani 

 bitangenti delia superficie u , e quindi ne inviluppano la sua sviluppabile 

 bitangente. — Osserviamo che l'involuzione determinata dalle forme p-^ , jj^' 

 ammetterà due elementi tripli allora, e solo allora, quando la forma p^' 

 appartenga ali involuzione determinata da p-^ e del suo covariante cubico 

 (ovvero viceversa), e che in tal caso i covarianti lineari /^ , l^ sono iden- 

 ticamente nulli (■'■). Laonde le equazioni 4 = o , Ix^o, al variare del para- 

 metro \ rappì'esentano una stessa schiera di superficie di 3" classe; la 

 sviluppabile di if classe ad esse circoscritta ò la sviluppabile bitangente 

 di a. (Quindi si conchiude che per ogni punto dello spazio passano 9 

 piani, i quali osculano due cubiche sia del sistema g^. , sia del sistema §■/. 



Se un piano § è osculatoro a due cubiche del sistema g-, , le due equa- 

 zioni in ). 



o = Hess, p^' = q-,'- , o = Hess, ip^' = tj,^ 



hanno le stesse radici , e queste sono i parametri dei due punti di oscula- 

 zione. Per altra parte il piano ^ contiene due assi, uno per ciascuna delle 

 sviluppabili alle due cubiche date, cioè contiene relativamente a ciascuna 

 di queste sviluppabili una retta, per cui passano due piani di essa svi- 

 luppabile , e i parametri di queste due coppie di piani sono appunto for- 

 niti dalle equazioni o^q-^"" , o=:q^\ Quindi segue che i piani osculatori 

 a due cubiche del sistema g-, sono quelli, che contengono assi corrispon- 

 denti (**) delle sviluppabili alle due cubiche date, e perciò date due cu- 



(*) Infalli se si chiama t^' il covariante cubico di p^^, e se si ha 



-•i ;'>.' + '•'2 '•>'= P/' 



si ottiene 



(/ = ■'!(?/')'/'/+".(?'■)' ni 



ma [qp'^px, [l'^Y'^l sono nulli identicamente, dunque lo stesso avviene di !.. Riesce poi facile dimo- 

 strare che, so p>^ appartiene alPinvoInzione determinata da />' e dal suo cov. cub., viceversa/)/' ap- 

 parterrà all' involuzione determinata da p;' e dal suo cov. cub., e quindi che, se \x è identicamente 

 nullo, tale è anche />. 



(*') Dato un asse dell'una sviluppabile determinato dai suoi piani i', l", dico asse corrispondente 

 dell'altra sviluppabile Passo di questa determinato dai suoi piani i', i''. Due assi corrispondenti, in 

 generale, non sono in uno stesso piano. 



