DI FRANCESCO GERBALDI. 343 



§ 21. Siccome per i piani tritangenti si ha p-^ = :p^^, così per ogni 

 pianb tritangente Si" sarà nullo identicamente per tutti i valori di )., il 

 che è d'accordo col fatto che un piano tritangente contiene tutta una 

 cubica g, (§ io) e perciò va consid(^rato come tangente ad essa nei suoi 

 infiniti punti X. Pertanto si deve ct)nchiudere che tutti gli ipci-boloidi S 

 sono tangenti agli stessi 4 piani (piani tritangenti della superficie Y). 



Ogni iperboloide 3 è iscritto nella sviluppabile della corrispondente 

 cubica g/, perchè ogni piano di questa, essendo osculatore nel punto X 

 ad una cubica g^, ne contiene la tangente X, la quale è, come abbiam 

 visto, una generatrice di 9. 



La superficie inviluppo di tutti gli iperboloidi 3 si ottiene eguagliando 

 a zero il discriminante di 3.*, che è 



'k > 



50 (2 i' 27 Cj) , 



il che conferma che gli iperboloidi 3 sono tangenti alla superficie V, e 

 mostra inoltre che sono ancora tangenti alla superficie u. 



Vi sono 8 iperboloidi 3, i quali degenerano in una conica (conside- 

 rata come inviluppo); essi son quelli che toccano la superficie Y lungo 

 le 8 generatrici singolari; ed invero le tangenti alle due cubiche date 

 nei punti d'una di queste generatrici sono in un piano (§ y), d'altra 

 parte esse sono generatrici d'uno stesso sistema nell'iperboloide 3, dunque 

 questo si deve ridurre a una conica. Pertanto le tangenti a tutte le cu- 

 biche g^ nei punti d'una generatrice singolare sono in un piano ed invi- 

 luppano su questo una conica; quel piano è tangente alla superficie Y 

 lungo tutta la generatrice singolare che esso contiene, e questa conica 

 tocca la medesima generatrice nel suo punto cuspidale ; la cubica g, che 

 passa per questo punto è ivi toccata dalla generatrice ed osculata dai 

 piano tangente singolare, col quale essendo venuti a coincidere i due 

 piani osculatori secantisi secondo la detta generatrice, segue che questa 

 è tangente alla quadrica i, ed ha un sestuplo contatto colla superficie a. 

 Intanto da ciò che ora fu detto risulta che tutte le cubiche g^ del si- 

 stema sono tangenti agli stessi 8 piani, che sono i piani singolari della 

 superficie Y. Osservato inoltre che, quando due forme yo^', p^^ hanno una 

 radice doppia comune, tutti i loro invarianti sono nulli, si conchiude che 

 gli 8 piani tangenti singolari appartengono a tutte le superficie rappre- 

 sentate dagli invarianti /■, s, t, i, s, r, w eguagliati a zero. Visto per- 

 tanto che gli otto piani singolari di Y sono eziandio piani di w , per le 



