346 SUI SISTEMI DI CUBICHE GOBBE 



queste si incontrano, l'iperboloide si ridurrà" ad una conica, che ha per 

 tangenti le corde XjU, delle cubiche g-.. 



Per dualità, nel sistema di sviluppabili l'equazione 



o = (P^)P,P,^,^, 

 rappresenta un iperboloide luogo di tutte le corde ^fx, e l'equazione 



rappresenta un iperboloide lungo di tutti gii assi 1[j.. 



§ 24. Vuoisi ora investigare qualche proprietà di cui godono i piani 

 della superficie di 2* classe 



=^Oy'-(p^yp^if^-(ai)\i^z^ . ?;-+- ... -4- [(a|j)*rt,li,-f-(éa)'^',ai]£,?,-f- ... 



Osserviamo che, dato un piano ?' ed il parametro v,:v^, le equazioni 

 o^n^n^ ohzCTx'ct, forniscono le coppie di parametri X relativi a quelle 

 tangenti delle due cubiche date, che passano pei due punti in cui il piano 

 I' ne seca le rispettive coniche 1/ (inscritte nelle sviluppabili); inoltre 

 (;:ct)X^v = o è la condizione affinchè i 4 elementi "k forniti dalle dette 

 equazioni siano armonici; dunque i piani §' della quadrica o ^ 6^^ sono 

 tali che, se dalle due coppie di punti in cui ciascuno di essi è incontrato 

 dalle coniche X delle due cubiche date si conducono a queste le tangenti, 

 le generatrici della superficie V che passano pei 4 punti di contatto sono 

 armoniche. 



Facciamo quest'altro ragionamento. Dati |' e v, l'equazione o=:5r^'Kr, 

 determina due valori X', X" di X tali che le tangenti X', X" della cubica 

 g^ passano risp. pei punti d'incontro delle terne di piani (^', X', v), (^', X', v); 

 il punto d'incontro dei tre piani X', X", v della cubica g^ ha per equa- 

 zione [pz^Yp^zs^^^ o , e se esso sta sul piano ^' deve essere (ttst)^?:,^, = ; 

 quest'equazione adunque , dato ^', determina due valori di v tali che si 

 trova su |' il punto d'incontro del piano v della g^ coi due piani della 

 stessa g^ corrispondenti alle due tangenti di g^ , che passano pei due punti 

 in cui I' incontra la conica v della cubica ^^. Siccome poi la (srTr)*;:^^^ è 

 simmetrica rispetto alle S7 e alle n , così si può conchiudere : « Se un piano 



1 è tale che cade su di esso il punto d'incontro del piano v della cubica 

 g„ coi due piani della stessa corrispondenti alle due tangenti di g„ uscenti 

 dai punti in cui ^' incontra la conica > di g^, reciprocamente nel piano 



